Максимальный объём открытой коробки из листа картона — рабочий лист для 11 класса

Постановка задачи: лист без крышки

Из прямоугольного листа картона длиной a и шириной b вырезают в каждом углу одинаковый квадрат со стороной x, затем загибают края вверх. Получается открытая коробка: высота x, длина дна a − 2x, ширина дна b − 2x. Сгибами, толщиной картона и припусками на соединения в этой модели пренебрегают.

Объём: V(x) = x(a − 2x)(b − 2x). ОДЗ: 0 < x < min(a, b)/2: ни одна сторона основания не может быть нулевой или отрицательной. При x = 0 и x на предельной границе объём равен нулю; максимальная коробка получается только внутри интервала.

Почему надо искать внутренний максимум

Раскрываем скобки: V(x) = abx − 2(a + b)x² + 4x³. Производная V′(x) = ab − 4(a + b)x + 12x². У неё два алгебраических корня: x = (a + b ± √(a² − ab + b²))/6. Для положительных a и b допустим только корень со знаком «−»: больший корень не лежит в физической области положительных размеров дна. Знак производной меняется с плюса на минус при меньшем корне, так что достигается максимум. Для квадратного листа a = b = L он равен x = L/6, Vмакс = 2L³/27.

Три разобранных примера

Пример 1: лист 12 × 12 см

Область допустимых значений: 0 < x < 6 см. Подставляем размеры в V(x) = x(12 − 2x)(12 − 2x). Формула производной даёт оптимальную высоту x = 2 см. Основание: 8 × 8 см, оба размера положительны. Максимальный объём: 128 см³. Проверка размерности: см · см · см = см³.

Пример 2: лист 10 × 16 см

Область допустимых значений: 0 < x < 5 см. Подставляем размеры в V(x) = x(10 − 2x)(16 − 2x). Формула производной даёт оптимальную высоту x = 2 см. Основание: 6 × 12 см, оба размера положительны. Максимальный объём: 144 см³. Проверка размерности: см · см · см = см³.

Пример 3: лист 15 × 24 см

Область допустимых значений: 0 < x < 15/2 см. Подставляем размеры в V(x) = x(15 − 2x)(24 − 2x). Формула производной даёт оптимальную высоту x = 3 см. Основание: 9 × 18 см, оба размера положительны. Максимальный объём: 486 см³. Проверка размерности: см · см · см = см³.

Рабочий лист: 12 заданий

Решения выписывайте до блока ответов. В каждом пункте область определения и проверка положительности основания являются частью решения.

1. Лист 18 × 18 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
2. Лист 24 × 24 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
3. Лист 30 × 30 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
4. Лист 9 × 9 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
5. Лист 15 × 15 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
6. Лист 36 × 36 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
7. Лист 21 × 21 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
8. Лист 27 × 27 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
9. Лист 20 × 32 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
10. Лист 35 × 56 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
11. Лист 30 × 48 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.
12. Лист 25 × 40 см. Выведите V(x), найдите оптимальный размер вырезаемого квадрата и максимальный объём.

Два задания на критическое мышление

13. Для листа 16 × 16 см предложено вырезать x = 8 см. Объясните, почему эта «коробка» непригодна, и найдите допустимую оптимальную высоту.
14. Можно ли получить максимальный объём, если на листе 14 × 22 см оставить x = 0 см? Укажите физический смысл такого выбора и требование к x.

Ключ к рабочему листу

1. 1. V(x) = x(18 − 2x)(18 − 2x), 0 < x < 9. Производная равна 324 − 144x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 3 см. Тогда дно 12 × 12 см, Vмакс = 432 см³.
2. 2. V(x) = x(24 − 2x)(24 − 2x), 0 < x < 12. Производная равна 576 − 192x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 4 см. Тогда дно 16 × 16 см, Vмакс = 1024 см³.
3. 3. V(x) = x(30 − 2x)(30 − 2x), 0 < x < 15. Производная равна 900 − 240x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 5 см. Тогда дно 20 × 20 см, Vмакс = 2000 см³.
4. 4. V(x) = x(9 − 2x)(9 − 2x), 0 < x < 9/2. Производная равна 81 − 72x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 3/2 см. Тогда дно 6 × 6 см, Vмакс = 54 см³.
5. 5. V(x) = x(15 − 2x)(15 − 2x), 0 < x < 15/2. Производная равна 225 − 120x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 5/2 см. Тогда дно 10 × 10 см, Vмакс = 250 см³.
6. 6. V(x) = x(36 − 2x)(36 − 2x), 0 < x < 18. Производная равна 1296 − 288x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 6 см. Тогда дно 24 × 24 см, Vмакс = 3456 см³.
7. 7. V(x) = x(21 − 2x)(21 − 2x), 0 < x < 21/2. Производная равна 441 − 168x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 7/2 см. Тогда дно 14 × 14 см, Vмакс = 686 см³.
8. 8. V(x) = x(27 − 2x)(27 − 2x), 0 < x < 27/2. Производная равна 729 − 216x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 9/2 см. Тогда дно 18 × 18 см, Vмакс = 1458 см³.
9. 9. V(x) = x(20 − 2x)(32 − 2x), 0 < x < 10. Производная равна 640 − 208x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 4 см. Тогда дно 12 × 24 см, Vмакс = 1152 см³.
10. 10. V(x) = x(35 − 2x)(56 − 2x), 0 < x < 35/2. Производная равна 1960 − 364x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 7 см. Тогда дно 21 × 42 см, Vмакс = 6174 см³.
11. 11. V(x) = x(30 − 2x)(48 − 2x), 0 < x < 15. Производная равна 1440 − 312x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 6 см. Тогда дно 18 × 36 см, Vмакс = 3888 см³.
12. 12. V(x) = x(25 − 2x)(40 − 2x), 0 < x < 25/2. Производная равна 1000 − 260x + 12x²; допустимый корень V′ = 0: x = 5 см. Тогда дно 15 × 30 см, Vмакс = 2250 см³.

13. При x = 8 основание имеет размеры 0 × 0, объём нулевой и настоящей коробки нет. Для квадрата L = 16 см оптимальная высота x = 16/6 = 8/3 см; объём 2 · 16³/27 = 8192/27 см³. 14. x = 0 означает, что борта не подняты, поэтому объём равен нулю; требуется 0 < x < 7 см. Максимум находится на внутреннем корне V′ = 0.

Проверка результата и предупреждения

Не заменяйте объём площадью развертки: единицы должны быть кубическими. Нельзя выбирать больший корень уравнения V′ = 0 без проверки ОДЗ; он соответствует невозможному сгибу. Если лист не квадратный, пользоваться формулой L/6 без вывода нельзя. При реальной сборке припуски и толщина материала меняют итоговые размеры; в упражнениях их специально не учитываем.

Как оформить полноценное решение

Первый шаг — выписать исходную ширину и длину листа вместе с единицами. Второй — выразить объём через единственный параметр x и указать ОДЗ до дифференцирования. Третий — приравнять производную нулю, найти все алгебраические корни и сохранить лишь тот, который удовлетворяет геометрическому ограничению. Четвёртый — показать, что найденная стационарная точка даёт именно максимум, а не минимум. Пятый — найти размеры дна, выполнить умножение трёх размеров и получить ответ в см³.

Например, если лист имеет размеры 20 × 32 см, то предел для вырезания — 10 см, а не 16 см: ограничивает короткая сторона. Стационарное значение x=4 см проходит проверку, потому что 20−8=12 и 32−8=24 положительны. Объём 4·12·24=1152 см³. Проверять подобный результат полезно сравнением с произвольным допустимым x=5: здесь V(5)=5·10·22=1100 см³, то есть значение действительно меньше. Один пример сравнения не доказывает глобальный максимум, но обнаруживает ошибки вычисления.