Максимальная площадь прямоугольника при заданной сумме сторон: пошаговые задания для 11 класса

Правило: какая сумма задана

Пусть a и b — две соседние стороны прямоугольника, a+b=s, где s>0 фиксировано. Тогда S(a)=a(s−a), 0<a<s. Производная S′(a)=s−2a равна нулю при a=s/2, а S′′(a)=−2<0. Следовательно, максимальная площадь Sмакс=s²/4, оптимальная форма — квадрат. Если известен периметр P, сначала надо найти s=P/2. Не путайте эти два условия.

Шесть неверных решений: найдите и исправьте ошибку

Перед просмотром ответов отметьте, какая предпосылка неверна: формула площади, ограничения на стороны, единицы измерения или скрытое условие целочисленности.

Самостоятельная серия: 10 заданий

1. При a+b=14 м: максимальная площадь при положительных вещественных сторонах. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
2. При a+b=22 м: максимальная площадь и размеры. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
3. При a+b=27 м: максимальная площадь при дробных сторонах. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
4. При a+b=8 м: проверьте ответ «32 м²». Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
5. При a+b=36 м: найдите разность максимумов для 36 и 34 м суммы. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
6. При a+b=50 м: найдите оптимальные размеры и площадь. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
7. При a+b=18 м: сравните прямоугольник 7×11 м с оптимумом. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
8. При a+b=40 м: на сколько прямоугольник 19×21 уступает оптимуму. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
9. При a+b=24 м: это половина периметра, который равен 48 м. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.
10. При a+b=13 м: стороны должны быть целыми положительными числами. Запишите закон S(a), укажите область допустимых сторон и обоснуйте свой вывод.

Исправленные решения ошибок

1. 1. Перепутана сумма с одной стороной. При a=b=9 м максимум 9·9=81 м², а не 324 м².
2. 2. 99 м² действительно верная площадь этих сторон, но максимум равен 10·10=100 м²; разница 1 м².
3. 3. При вещественных размерах максимум у 12,5×12,5: 156,25 м²; вариант 12×13 — максимум только при условии целочисленности сторон.
4. 4. Неравные стороны не оптимальны: 15×15 даёт 225 м², на 25 м² больше.
5. 5. Периметр P=2(a+b), поэтому a+b=20 м; максимальная площадь 100 м².
6. 6. Длины сторон только положительны: 0 < a < 12. Максимум достигается при a=b=6 м и равен 36 м².

Ключ к самостоятельной серии

1. 1. a=b=7 м, Sмакс=49 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(14−a) и S′=14−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
2. 2. a=b=11 м, Sмакс=121 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(22−a) и S′=22−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
3. 3. a=b=13,5 м, Sмакс=182,25 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(27−a) и S′=27−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
4. 4. Неверно: a=b=4 м, Sмакс=16 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(8−a) и S′=8−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
5. 5. Sмакс=18²=324 м²; для суммы 34 м — 17²=289 м²; разность 35 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(36−a) и S′=36−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
6. 6. a=b=25 м, Sмакс=625 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(50−a) и S′=50−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
7. 7. 7×11=77 м², максимум 9×9=81 м², потеря 4 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(18−a) и S′=18−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
8. 8. 19×21=399 м², максимум 20×20=400 м²; потеря 1 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(40−a) и S′=40−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
9. 9. a+b=24 м, максимум 12×12=144 м². Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(24−a) и S′=24−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.
10. 10. Ближайшие целые 6 и 7 м: Sмакс=42 м²; 6,5×6,5 не подходит при требовании целочисленности. Во всех задачах, кроме явно целочисленной, максимум следует из S(a)=a(13−a) и S′=13−2a; для реального прямоугольника a и b должны быть положительными.

Проверка смысла результата

Сопоставляйте единицы: если стороны измеряются метрами, сумма сторон — в метрах, площадь — в квадратных метрах. Если у двух прямоугольников совпадает сумма соседних сторон, нельзя автоматически утверждать, что совпадают площади: она зависит от распределения суммы. Единственный максимум на положительном интервале достигается при равных сторонах; при целочисленном ограничении две ближайшие к s/2 длины могут быть разными.