Минимальная площадь поверхности цилиндра при фиксированном объёме — задания на закрепление, 11 класс

Кейс: сколько металла нужно для закрытой цилиндрической ёмкости

Мастерская делает закрытые цилиндрические ёмкости: у каждой есть дно и крышка. Требуется выбрать радиус r и высоту h так, чтобы объём V оставался неизменным, а полная площадь поверхности (и расход тонкого листового металла) была минимальна. Толщина стенок, швы и технологические потери не учитываются; r>0, h>0, V>0.

Модель, область определения и доказательство оптимума

Исходные равенства: V=πr²h, S=2πr²+2πrh. Из постоянства объёма h=V/(πr²). Подстановка даёт S(r)=2πr²+2V/r, r>0. Производная S′(r)=4πr−2V/r². Уравнение S′=0 равносильно 2πr³=V; у положительного r единственный корень. При меньшем r производная отрицательна, при большем положительна: это глобальный минимум. В оптимуме h=V/(πr²)=2r — высота равна диаметру. Подстановка даёт Sмин=6πr².

В прикладных задачах данные часто кратны π: например, V=54π см³. Тогда 2πr³=54π, r³=27, r=3 см, h=6 см, Sмин=54π см². Проверка объёма: π·3²·6=54π см³. Это минимальная полная поверхность, а не боковая площадь.

Исходные данные мастерской

Для каждой партии определите r и h. После вычислений проверьте равенство πr²h=V. Чтобы результат был физически осмысленным, радиус и высота всегда должны быть положительными.

Самостоятельные задания: расчёт и контроль параметров

1. Для закрытого цилиндра объём V = 2π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
2. Для закрытого цилиндра объём V = 16π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
3. Для закрытого цилиндра объём V = 54π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
4. Для закрытого цилиндра объём V = 128π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
5. Для закрытого цилиндра объём V = 250π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
6. Для закрытого цилиндра объём V = 432π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
7. Для закрытого цилиндра объём V = 686π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
8. Для закрытого цилиндра объём V = 1024π см³. Найдите оптимальные радиус, высоту и минимальную полную площадь поверхности.
9. Партия А, V=54π см³. Радиус принудительно выбран равным 2 см. Вычислите h и полную S. Сравните расход металла с оптимальным.
10. Партия А, V=54π см³. Радиус принудительно выбран равным 3 см. Вычислите h и полную S. Сравните расход металла с оптимальным.
11. Партия А, V=54π см³. Радиус принудительно выбран равным 4 см. Вычислите h и полную S. Сравните расход металла с оптимальным.
12. Партия А, V=54π см³. Радиус принудительно выбран равным 5 см. Вычислите h и полную S. Сравните расход металла с оптимальным.
13. Для объёма 128π см³ радиус по техническим условиям должен быть не меньше 5 см. Найдите минимальную площадь при этом ограничении и высоту.
14. Для объёма 128π см³ допускается радиус не более 3 см. Какой вариант минимизирует площадь внутри разрешённого диапазона?
15. Объясните, почему найденное правило h = 2r нельзя без изменений применять к открытому сверху цилиндру.
16. Для партии А мастер записал площадь как 2πrh и получил 36π см² при r=3, h=6. Объясните ошибку и вычислите правильную площадь.

Ответы и проверка размерности

1. V=2π: r³=1, поэтому r=1 см, h=2 см, Sмин=6π см². Проверка: π·1²·2 = 2π см³.
2. V=16π: r³=8, поэтому r=2 см, h=4 см, Sмин=24π см². Проверка: π·2²·4 = 16π см³.
3. V=54π: r³=27, поэтому r=3 см, h=6 см, Sмин=54π см². Проверка: π·3²·6 = 54π см³.
4. V=128π: r³=64, поэтому r=4 см, h=8 см, Sмин=96π см². Проверка: π·4²·8 = 128π см³.
5. V=250π: r³=125, поэтому r=5 см, h=10 см, Sмин=150π см². Проверка: π·5²·10 = 250π см³.
6. V=432π: r³=216, поэтому r=6 см, h=12 см, Sмин=216π см². Проверка: π·6²·12 = 432π см³.
7. V=686π: r³=343, поэтому r=7 см, h=14 см, Sмин=294π см². Проверка: π·7²·14 = 686π см³.
8. V=1024π: r³=512, поэтому r=8 см, h=16 см, Sмин=384π см². Проверка: π·8²·16 = 1024π см³.
9. При r=2 см высота h=V/(πr²)=27/2 см. S=2π·2²+2·54π/2=62π см². Больше минимума 54π см².
10. При r=3 см высота h=V/(πr²)=6 см. S=2π·3²+2·54π/3=54π см². Совпадает с минимумом.
11. При r=4 см высота h=V/(πr²)=27/8 см. S=2π·4²+2·54π/4=59π см². Больше минимума 54π см².
12. При r=5 см высота h=V/(πr²)=54/25 см. S=2π·5²+2·54π/5=358/5π см². Больше минимума 54π см².
13. Без ограничений оптимален r=4 см. При r≥5 S(r) возрастает, значит берём r=5 см. h=128/25 см; S=2π·25+2·128π/5 = 506π/5 см².
14. Оптимальный без ограничений r=4 см, но он запрещён. На интервале 0<r≤3 функция убывает, значит r=3 см: h=128/9 см; S=18π+256π/3=310π/3 см².
15. Для открытой сверху ёмкости отсутствует площадь крышки πr²: Sоткр=πr²+2πrh. Функция цели другая, поэтому прежний оптимум h=2r в общем случае неверен.
16. Формула 2πrh считает только боковую поверхность; у закрытого цилиндра добавляются два основания: 2πr²=18π см². Итого S=36π+18π=54π см².

Вывод для производства

Для цилиндров одного объёма разные пары (r,h) расходуют разное количество металла. В данной модели оптимальный закрытый цилиндр имеет высоту, равную диаметру. Изменять это правило без перерасчёта нельзя, если ёмкость открыта, стенки имеют толщину, есть накладные детали или технологические ограничения. Объём измеряется в см³, площадь металла — в см², а радиус и высота — в см; формулы нельзя сравнивать без согласования единиц.

Критерии проверки: в заданиях 1–12 за правильную модель и ОДЗ — 1 балл, за вычисления — 1 балл, за проверку объёма и единиц — 1 балл. В заданиях 13–16 требуется объяснение выбора допустимых значений и источника ошибки. Ответ с отрицательным радиусом недопустим, даже если возникает при промежуточных алгебраических операциях.

Проверка производной без новых единиц

В полной поверхности S(r)=2πr²+2V/r оба слагаемых имеют размерность площади: r² выражено в см², а V/r — также см². Производная S′(r)=4πr−2V/r² в точке минимума равна нулю. Вторая производная S′′(r)=4π+4V/r³ положительна для любого r>0, что независимо подтверждает строгость минимума. Когда радиус стремится к нулю, высота V/(πr²) неограниченно растёт и площадь боковой поверхности увеличивается; при неограниченно большом радиусе резко растёт площадь двух оснований. Поэтому между этими крайностями действительно должен находиться оптимум.

Значения с множителем π оставлены точными: 54π см² — не то же самое, что 54 см². При практической оценке расхода материала допускается заменить π≈3,14 лишь после завершения алгебраического решения; если нужна стоимость, важно дополнительно учесть отходы раскроя и толщину листа. В этом учебном кейсе они специально исключены из условий.