Скалярное произведение пространственных векторов: задания от простого к сложному, 11 класс

Задачи с таблицей: одно число из двух пространственных векторов

Для a=(a₁; a₂; a₃) и b=(b₁; b₂; b₃) скалярное произведение равно a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃. Это число, а не вектор. Если a·b=0 и оба вектора ненулевые, они перпендикулярны. Знак скалярного произведения показывает, острый, прямой или тупой угол между ненулевыми векторами; но вычисление самого косинуса — отдельный навык.

Пример перед таблицей

Пусть a=(−2; 4; 1), b=(3; −1; 5). Тогда a·b=(−2)·3+4·(−1)+1·5=−6−4+5=−5. Проверка: член с минусом обязан остаться отрицательным, а результат не имеет трёх координат. При перестановке множителей ничего не меняется: a·b=b·a.

Рабочая таблица: 12 вычислительных строк

Допишите произведения трёх координат и сумму. В последнем столбце определите, чему равен угол по типу: острый, прямой или тупой (либо отметьте нулевой вектор). Важна последовательность: сначала произведение соответствующих координат, затем сложение.

Объяснительные и составные задачи

1. Для a=(3; −2; 1) и b=(−1; 4; 7) найдите a·b и определите тип угла.
2. Для a=(5; 0; −1) найдите a·a и сравните с квадратом длины a.
3. Найдите t, при котором a=(2; t; 3) и b=(4; 1; −2) перпендикулярны.
4. Найдите t из условия (t; 2; −1)·(3; −3; 5)=0.
5. Может ли a·b быть отрицательным при a=(0; 0; 0)?
6. Проверьте распределительное свойство: a=(1; −2; 4), b=(2; 0; 1), c=(−3; 5; 2).
7. Векторы a=(−1; 2; 0), b=(2; 0; 3). Как меняется a·b, если b заменить на −2b?
8. В прикладной модели сила F=(3; −1; 2) Н и перемещение s=(4; 5; 0) м. Найдите работу F·s.

Ответы с разложением по координатам

Ответы к задачам 13–20

1. 13. a·b=−3−8+7=−4<0; оба ненулевые, угол тупой.
2. 14. a·a=25+0+1=26=|a|². Скалярное произведение вектора на себя неотрицательно.
3. 15. a·b=8+t−6=t+2; t=−2, оба вектора ненулевые, поэтому угол 90°.
4. 16. 3t−6−5=0; t=11/3. Подстановка 11−6−5=0 подтверждает перпендикулярность.
5. 17. Нет. Для нулевого вектора каждое слагаемое равно нулю, значит a·b=0 независимо от b; угол нулевого вектора не определён.
6. 18. b+c=(−1; 5; 3), a·(b+c)=−1−10+12=1; a·b=6, a·c=−3−10+8=−5; сумма 6+(−5)=1.
7. 19. a·b=−2; a·(−2b)=(−2)(−2)=4. Множитель можно вынести за скалярное произведение.
8. 20. A=3·4+(−1)·5+2·0=7 Н·м=7 Дж. Здесь единицы скалярного произведения возникают от множителей.

Сверка смысла результата

Скалярное произведение можно вычислить и для нулевого вектора, оно равно нулю, но определять угол с нулевым вектором нельзя. Обратная формулировка «a·b=0, значит перпендикулярны» требует ненулевых a и b. Если данные векторы — силы и перемещения, единицей работы становятся джоули, а если оба вектора — геометрические длины в метрах, произведение имеет единицу м².

Суммировать координаты двух векторов до перемножения нельзя: a·b не равно произведению сумм их координат. Ошибка выявляется простым примером: (1; 0; 0)·(0; 1; 0)=0, хотя суммы координат обоих равны 1. Скалярное произведение обладает симметрией и распределительностью, но его результат не является новым вектором пространства.

Проверочная отметка: строки 1–12 — 2 балла (верное число и правильная интерпретация его знака), задания 13–20 — по 2 балла за обоснованный ответ. Максимум — 40. Допустима любая форма промежуточного вычисления, если показаны три попарных произведения и верная сумма.

Почему скалярное произведение нельзя спутать с длиной

Если a=(2; −1; 2), то a·a=4+1+4=9, а длина a равна √9=3. Таким образом, результат произведения вектора на себя — квадрат его длины, а не длина. Это особенно важно при интерпретации единиц: при координатах в метрах a·a измеряется в м², а |a| — в метрах. В учебных задачах часто смешивают эти два понятия и получают неверное число, даже правильно умножив координаты.

Проверка на нулевое значение требует осторожности. Для a=(3; 0; −4) и b=(0; 2; 0) произведение равно нулю, и оба ненулевые: они перпендикулярны. Но если a=(0; 0; 0), сумма произведений тоже нуль независимо от b; геометрический угол с нулевым вектором не задан. Нельзя автоматически считать любой нуль признаком угла 90° без проверки длин исходных векторов.

Контроль вычислений через свойства

Для любых a, b и c должно выполняться a·(b+c)=a·b+a·c. Это не новый способ решения каждого задания, а удобный контроль: в составной задаче 18 оба пути дают число 1. Ещё одна проверка — симметрия a·b=b·a: она означает, что перестановка двух столбцов входных координат не изменяет результат таблицы. Если сумма изменилась, скорее всего, при перемножении были перепутаны соответствующие оси или знак отрицательной компоненты.

Три члена суммы могут взаимно компенсироваться. Например, (1; 2; −1)·(2; −1; 0)=2−2+0=0. Наличие положительных и отрицательных слагаемых не гарантирует определённый знак результата: вычисляйте всю сумму. При ответе с нулём дополнительно проверьте, что оба вектора ненулевые, прежде чем делать вывод о перпендикулярности.