Определение интервала положительности с ненулевым свободным членом — рабочий лист для 9 класса

Класс: 9. Цель: находить именно множество x, для которых квадратичная функция положительна, если свободный член c не равен нулю. Работа рассчитана на последовательное освоение трёх уровней; все 24 выражения имеют c ≠ 0.

Почему ненулевой свободный член важен

В записи f(x)=ax²+bx+c число c=f(0) показывает положение графика относительно оси Ox при x=0. Если c положительно, ноль входит в область положительности; если c отрицательно — не входит. Но одного знака c недостаточно, чтобы определить остальные промежутки: требуется направление ветвей и число действительных корней.

Алгоритм: определите a и c, вычислите D=b²−4ac. При D>0 отметьте два корня; при D=0 — один двойной; при D<0 пересечений с осью нет. Парабола с a>0 положительна снаружи двух различных корней, с a<0 — между ними. При D<0 знак всюду совпадает со знаком a. Границы строгого неравенства в ответ не включаются.

Уровень I. Корни и простая проверка знака

Сначала выпишите нули функции или убедитесь, что их нет. Для каждого ответа обязательно проверьте значение в x=0 по свободному члену; это простой способ обнаружить ошибку со знаками.

1. Определите все x, при которых x² − 5x + 6 > 0.
2. Запишите множество решений неравенства x² + 2x − 8 > 0.
3. Покажите на числовой прямой, где 2x² − 10x + 8 > 0.
4. Найдите промежутки, на которых x² + 6x + 9 > 0.
5. Определите все x, при которых x² + 2x + 5 > 0.
6. Запишите множество решений неравенства −x² + 3x + 10 > 0.
7. Покажите на числовой прямой, где 2x² + 2x − 12 > 0.
8. Найдите промежутки, на которых −2x² + 4x − 2 > 0.

Уровень II. Сложнее коэффициенты и дискриминант

Здесь встречаются два отрицательных коэффициента, касание оси и отсутствие действительных корней. При D<0 нельзя выдумывать «интервал между корнями»: действительных корней просто нет.

1. Определите все x, при которых 3x² − 9x + 6 > 0.
2. Запишите множество решений неравенства −x² − 2x + 15 > 0.
3. Покажите на числовой прямой, где 2x² − 4x + 7 > 0.
4. Найдите промежутки, на которых −2x² + 8x − 8 > 0.
5. Определите все x, при которых x² + 5x − 14 > 0.
6. Запишите множество решений неравенства −3x² − 3x + 18 > 0.
7. Покажите на числовой прямой, где 4x² − 12x + 5 > 0.
8. Найдите промежутки, на которых −x² + 6x − 8 > 0.

Уровень III. Обоснование и контроль границ

После решения сформулируйте словесное доказательство: сколько нулей у функции, куда направлены ветви и почему каждая граница включена или исключена. Знак при x=0 помогает проверить рассуждение, но не подменяет его.

1. Определите все x, при которых 2x² − 3x − 2 > 0.
2. Запишите множество решений неравенства −3x² + 6x + 9 > 0. Проверьте, может ли число 0 принадлежать найденному множеству.
3. Покажите на числовой прямой, где x² − 6x + 8 > 0. Объясните, почему точка пересечения с осью не входит в ответ.
4. Найдите промежутки, на которых −2x² − 6x − 3 > 0.
5. Определите все x, при которых 3x² + 12x + 12 > 0. Проверьте, может ли число 0 принадлежать найденному множеству.
6. Запишите множество решений неравенства −x² + 2x + 8 > 0. Объясните, почему точка пересечения с осью не входит в ответ.
7. Покажите на числовой прямой, где 2x² + 6x + 11 > 0.
8. Найдите промежутки, на которых −4x² + 4x + 3 > 0. Проверьте, может ли число 0 принадлежать найденному множеству.

Три разобранных случая перед проверкой

Два корня и положительный старший коэффициент

Для 2x²−3x−2>0 вычисляем дискриминант: D=(−3)²−4·2·(−2)=25. Корни равны (3−5)/4=−1/2 и (3+5)/4=2. Поскольку a=2>0, выражение строго положительно слева от −1/2 и справа от 2. Поэтому ответ: (−∞; −1/2) ∪ (2; +∞). Подставим x=0: свободный член c=−2, значение отрицательное, и ноль действительно не входит в найденное множество.

Касание оси и исключённая точка

Неравенство x²+6x+9>0 равносильно (x+3)²>0. Квадрат любого числа неотрицателен, но обращается в ноль только при x=−3. Ответ: все действительные числа, кроме −3. Нельзя записывать «от −3 до +∞»: слева от −3 квадрат тоже положителен. В этом примере свободный член равен 9 и условие c≠0 соблюдено.

Корней вообще нет

Для −2x²+2x−3>0 имеем D=2²−4·(−2)·(−3)=−20. Так как D<0, пересечений с осью Ox нет. Старший коэффициент отрицательный, поэтому вся парабола лежит ниже оси: не существует ни одного действительного x с положительным значением. Ровно такую ситуацию нельзя изображать промежутком «между корнями», ведь их нет.

Обратите внимание на проверку концов: если вместо строгого знака «>» задано «≥», точки, где значение равно нулю, могут входить в множество решений. В каждом задании этого листа требуется именно положительное значение, а не ноль и не отрицательное число. При проверке собственной работы сначала сравните найденный интервал со знаком при x=0, затем с направлением ветвей и лишь после этого — с ключом.

Ключ учителя: уровень I

1. (−∞; 2) ∪ (3; +∞). D = 1 > 0, корни 2 и 3, a = 1 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
2. (−∞; −4) ∪ (2; +∞). D = 36 > 0, корни −4 и 2, a = 1 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
3. (−∞; 1) ∪ (4; +∞). D = 36 > 0, корни 1 и 4, a = 2 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
4. все x, кроме x = −3. D = 0; парабола касается оси в x = −3, в остальных точках значение положительно.
5. все действительные x. D = −16 < 0, поэтому знак выражения совпадает со знаком a = 1.
6. (−2; 5). D = 49 > 0, корни −2 и 5, a = −1 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
7. (−∞; −3) ∪ (2; +∞). D = 100 > 0, корни −3 и 2, a = 2 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
8. нет действительных x. D = 0, a < 0; значение не превосходит нуля.

Ключ учителя: уровень II

1. (−∞; 1) ∪ (2; +∞). D = 9 > 0, корни 1 и 2, a = 3 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
2. (−5; 3). D = 64 > 0, корни −5 и 3, a = −1 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
3. все действительные x. D = −40 < 0, поэтому знак выражения совпадает со знаком a = 2.
4. нет действительных x. D = 0, a < 0; значение не превосходит нуля.
5. (−∞; −7) ∪ (2; +∞). D = 81 > 0, корни −7 и 2, a = 1 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
6. (−3; 2). D = 225 > 0, корни −3 и 2, a = −3 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
7. (−∞; 1/2) ∪ (5/2; +∞). D = 64 > 0, корни 1/2 и 5/2, a = 4 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
8. (2; 4). D = 4 > 0, корни 2 и 4, a = −1 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.

Подробный разбор и ответы: уровень III

1. (−∞; −1/2) ∪ (2; +∞). D = 25 > 0, корни −1/2 и 2, a = 2 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
2. (−1; 3). D = 144 > 0, корни −1 и 3, a = −3 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые. При x = 0 значение равно 9: ноль входит в ответ.
3. (−∞; 2) ∪ (4; +∞). D = 4 > 0, корни 2 и 4, a = 1 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые. Строгое неравенство исключает любую точку, в которой функция равна нулю.
4. (-3/2 — sqrt(3)/2; -3/2 + sqrt(3)/2). D = 12 > 0, корни -3/2 — sqrt(3)/2 и -3/2 + sqrt(3)/2, a = −2 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
5. все x, кроме x = −2. D = 0; парабола касается оси в x = −2, в остальных точках значение положительно. При x = 0 значение равно 12: ноль входит в ответ.
6. (−2; 4). D = 36 > 0, корни −2 и 4, a = −1 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые. Строгое неравенство исключает любую точку, в которой функция равна нулю.
7. все действительные x. D = −52 < 0, поэтому знак выражения совпадает со знаком a = 2.
8. (−1/2; 3/2). D = 64 > 0, корни −1/2 и 3/2, a = −4 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые. При x = 0 значение равно 3: ноль входит в ответ.

Самопроверка: отмеченный вами интервал должен согласовываться с направлением ветвей. Проверьте отдельно x=0: его принадлежность множеству определяется знаком ненулевого c. Не путайте интервалы положительности f(x)>0 с промежутками неотрицательности f(x)≥0: во втором случае нули могут входить в ответ.