Определение интервала положительности при отражении ветвей вниз: задачи с решениями для 9 класса

Класс: 9. Сюжет: учебный запуск мягкого мяча вверх с площадки. Умение: находить интервал положительности именно для параболы с ветвями вниз и применять математическое решение к допустимому времени.

Ситуация: модель полёта и таблица наблюдений

Высота мяча над землёй (в метрах) описывается учебной моделью h(t)=−t²+4t+5, где t — время в секундах, начиная с запуска. Значения в таблице рассчитаны по модели, а не являются результатами реального эксперимента. Рассматриваем t≥0; после приземления модель уже не описывает движение.

Различайте два вопроса: математический («при каких t выражение больше нуля?») и прикладной («в какие моменты мяч над землёй?»). Для первого используются все действительные t, для второго — только физически допустимые моменты, начиная с 0 и заканчивая приземлением.

Математическая модель

Выделим квадрат: h(t)=−(t−2)²+9. Ветви направлены вниз, вершина (2; 9) означает максимальную высоту. Факторизация h(t)=−(t−5)(t+1) даёт нули −1 и 5. На интервале (−1;5) функция положительна, а на физическом отрезке времени — от 0 включительно до 5 исключительно.

Связанные вопросы для самостоятельной работы

1. По таблице найдите высоту при t=0 и назовите начальное положение мяча.
2. Как изменилась высота за первую секунду?
3. Почему график направлен ветвями вниз?
4. Докажите, что наибольшая высота равна 9 м.
5. Найдите, когда модель h(t) строго положительна при t≥0.
6. В какой момент высота становится равной нулю?
7. Верно ли, что в момент t=5 мяч ещё «выше земли»?
8. В какие моменты высота больше начальной 5 м?
9. Найдите промежуток, когда высота не ниже 8 м.
10. Сравните высоты в моменты t=1 и t=3 без повторного вычисления обеих по формуле.
11. Если все значения высоты изменить на противоположные, каков знак нового графика при 0≤t<5?
12. Объясните, почему значение h(6)=−7 нельзя интерпретировать как реальную высоту мяча над землёй.

Три проверки перед подстановкой ответов

Проверка 1 — численная: подставьте в модель t=2: h(2)=−4+8+5=9 м. Если при составлении таблицы получилось 1 или −9, вероятно, был неверно учтён минус перед t². При t=4 значение равно −16+16+5=5 м; это подтверждает симметрию времени вокруг t=2.

Проверка 2 — знаковая: из равенства h(t)=−(t−5)(t+1) следует, что при t=1 одно выражение в скобках отрицательное, другое положительное, а стоящий впереди минус делает произведение положительным. При t=6 оба множителя положительны, а результат отрицателен. Значит, знак меняется ровно при переходе через ноль модели.

Проверка 3 — смысловая: математический промежуток положительности (−1;5) шире допустимого времени полёта. Секунда t=−1 не относится к физической ситуации. При t=0 мяч уже на высоте 5 м и поэтому начальная точка включена. Конечный момент t=5 не включён в условие «строго выше земли», хотя описывается моделью.

Проверка научной записи: «высота не ниже 8 м» означает h(t)≥8, где допустимы граничные моменты. Слова «выше 8 м» означают h(t)>8, тогда вместо [1;3] получаем (1;3). Такая разница между открытыми и закрытыми границами — ключевой результат этой практической работы.

Ещё один способ контроля — оценить производный смысл данных без вычисления производных: высота возрастает от 5 м до 9 м на первых двух секундах, а затем убывает. Максимум приходится на середину между двумя временами одинаковой высоты, например между t=1 и t=3. Это согласуется с отрицательным коэффициентом при t² и позволяет раньше заметить арифметическую ошибку в таблице.

Ответы, вычисления и объяснения

1. Начальная высота 5 м: из модели h(0)=5.
2. h(1)−h(0)=8−5=3 м; сначала мяч поднимается.
3. Старший коэффициент при t² равен −1. При больших |t| квадратичное слагаемое делает значения меньшими; ветви направлены вниз.
4. h(t)=−(t−2)²+9≤9. Равенство достигается при t=2 с, то есть максимум 9 м.
5. Решаем −t²+4t+5>0 ⇔ (t+1)(t−5)<0 ⇔ −1<t<5. С учётом t≥0 получаем [0; 5) с.
6. Корни модели −1 и 5. Отрицательное время исключаем; мяч касается земли в t=5 с.
7. Нет. h(5)=0, а требуется строгое h>0. Точка t=5 — граница, не часть интервала положительности.
8. −t²+4t+5>5 ⇔ t(4−t)>0. Значит 0<t<4 с; равенство на концах не подходит.
9. −t²+4t+5≥8 ⇔ (t−1)(t−3)≤0. Искомый замкнутый промежуток [1; 3] с; это уже нестрогое условие.
10. Ось симметрии t=2; моменты 1 и 3 одинаково удалены от оси. Поэтому h(1)=h(3)=8 м.
11. Для g(t)=−h(t)=t²−4t−5 имеем g(t)<0 на [0;5); положительный график h отражён относительно оси времени.
12. Модель описывает полёт только до первого контакта с землёй, t∈[0;5]. После t=5 формула даёт отрицательные значения: это выход за физическую область применения модели.

Проверка разумности

На каждом промежутке учитывайте размерность: высота измеряется в метрах, время — в секундах. Отрицательный корень t=−1 математически корректен, но невозможен как время после запуска. В момент t=5 условие «выше земли» уже не выполняется. Если заменить положительную модель на противоположную, положительные значения превратятся в отрицательные, а положение вершины по времени останется прежним.

Обсуждение для класса: почему из таблицы достаточно взять несколько точек, чтобы предположить вершину, но для строгого ответа нужно использовать формулу? Таблица показывает лишь выбранные моменты; между ними поведение гарантирует квадратичная модель.