Проверка симметрии точек графика по вершине и одной точке — задания с разбором, 9 класс

Класс: 9. Формат: объяснение и доказательство. Учимся проверять не внешнее сходство точек на рисунке, а точное условие симметрии квадратичного графика относительно вертикальной оси через вершину.

Сомнительное утверждение

Ученик сказал: «Если вершина V(h;k), а точка P(x;y) лежит на параболе, то отражённая точка имеет координаты (2h−x;−y)». Это неверно. При симметрии относительно вертикальной прямой x=h меняется только абсцисса: правильная точка P′(2h−x;y).

Доказательство из формулы функции

Любая квадратичная функция может быть записана в вершинной форме f(x)=a(x−h)²+k, где a≠0. Для любого расстояния d получаем f(h+d)=a·d²+k=f(h−d). Значит, если известны вершина и одна точка, другая симметричная ей точка однозначно определяется по оси. Но это не означает, что у точки меняется знак y или что любые две точки с равной высотой могут иметь произвольную ось.

Проверка формулы на разных данных

1. Вершина параболы V(2; 1), дана точка P(1; 4). Может ли Q(3; 4) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.
2. Вершина параболы V(−1; 4), дана точка P(1; −4). Может ли Q(−2; −4) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.
3. Вершина параболы V(3; −2), дана точка P(8; 23). Может ли Q(−2; 23) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.
4. Вершина параболы V(0; 2), дана точка P(−2; 10). Может ли Q(2; 11) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.
5. Вершина параболы V(−2; 3), дана точка P(−1; 7). Может ли Q(−2; 7) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.
6. Вершина параболы V(1; −4), дана точка P(4; −13). Может ли Q(−2; −13) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.
7. Вершина параболы V(4; 0), дана точка P(2; 8). Может ли Q(6; 8) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.
8. Вершина параболы V(−3; 5), дана точка P(1; 21). Может ли Q(−6; 21) быть отражением P относительно оси симметрии? Объясните.

Особые случаи и задачи для доказательства

1. Вершина V(−2; 7), а точка P(−2; 7). Сколько различных точек дают P и её отражение?
2. Две различные точки A(−5; 6) и B(3; 6) лежат на одной параболе. Найдите абсциссу её вершины.
3. Вершина V(1; −3); на графике есть P(−3; 5). Верно ли, что Q(5; −5) тоже лежит на графике?
4. На параболе отмечены A(2; 9), B(8; 9). Может ли ось симметрии иметь уравнение x=4?

Как доказать отражение без рисунка

Пусть вершина квадратичной функции имеет абсциссу h. Отражение относительно прямой x=h переводит абсциссу x в x′=2h−x. Проверить симметричность можно равенством (x+x′)/2=h: ось должна проходить точно посередине между абсциссами. Ордината при вертикальном отражении всегда остаётся y. Это проверяет координаты предложенной точки ещё до вычисления самой функции.

Например, для вершины V(2;1) и точки P(5;10) её отражение должно быть Q(−1;10). Среднее абсцисс (5+(−1))/2=2 — ось проходит посередине. Если вместо Q указана (−1;−10), среднее абсцисс верно, но ордината ошибочна. Если указана (−2;10), сохранён y, но нарушено равенство расстояний до оси.

Если у двух различных точек параболы совпадают ординаты, а абсциссы различны, вертикальная ось должна проходить через их середину. Обратное уточнение важно: две произвольные точки с одной высотой ещё не доказывают, что перед нами квадратичная функция; в задаче заранее сказано, что точки лежат на графике одной параболы.

Проверяя случай точки в самой вершине, не ищите «вторую отдельную точку»: x=h переходит в x′=h. Это не исключение из правила, а прямое следствие общей формулы, и она полезна для контроля решений о симметрии.

Дополнительная проверка через уравнение: при вершине V(2;1) и точке P(5;10) коэффициент равен a=(10−1)/(5−2)²=1, поэтому функция имеет вид f(x)=(x−2)²+1. Действительно, f(−1)=(−3)²+1=10. Такой расчёт нужен лишь для подтверждения: при нахождении симметричной точки обычно достаточно оси и координат P.

Ответы к восьми проверкам

1. Да. Ось x=2; отражение P должно иметь координаты (3; 4). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.
2. Нет. Ось x=−1; отражение P должно иметь координаты (−3; −4). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.
3. Да. Ось x=3; отражение P должно иметь координаты (−2; 23). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.
4. Нет. Ось x=0; отражение P должно иметь координаты (2; 10). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.
5. Нет. Ось x=−2; отражение P должно иметь координаты (−3; 7). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.
6. Да. Ось x=1; отражение P должно иметь координаты (−2; −13). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.
7. Да. Ось x=4; отражение P должно иметь координаты (6; 8). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.
8. Нет. Ось x=−3; отражение P должно иметь координаты (−7; 21). Горизонтальное расстояние до оси сохраняется, ордината не меняется.

Разбор особых случаев

1. Одну. Точка лежит на оси x=−2, поэтому отражение совпадает с самой точкой.
2. x=−1. Их абсциссы равноудалены от оси: (−5+3)/2=−1. По двум точкам с равными ординатами ось находится точно.
3. Нет такого вывода. Симметричная P точка имеет координаты (5; 5), а не (5; −5): при отражении относительно вертикальной оси ордината сохраняется.
4. Нет. Для двух различных точек с одинаковыми ординатами ось обязана проходить через середину абсцисс: x=(2+8)/2=5.

Как построить доказательство в тетради

Укажите абсциссу вершины h. Найдите горизонтальное расстояние d=|x−h| от данной точки до оси. Перенесите точку на то же расстояние по другую сторону прямой x=h, сохранив ординату y. Проверьте равенство середин: (x+x′)/2=h. Если оно нарушено, предложенная пара не симметрична.

Оговорка о данных: если точка названа лежащей на параболе с данной вершиной, она должна согласовываться с её уравнением. Для вершины V(h;k) любая другая точка P(x;y) с x≠h позволяет определить a=(y−k)/(x−h)², однако знак и величину a не требуется вычислять, чтобы найти отражение.