Проверка симметрии точек графика при отражении ветвей вниз — самостоятельная работа, 9 класс

Самостоятельная работа, 9 класс. 12 вопросов разного типа: вычисление, проверка пары точек, выбор оси и исправление утверждения. За каждый полностью правильный ответ — 1 балл; при ошибке в объяснении после верного числа учитель может попросить устно обосновать решение.

Вопросы 1–3: короткий старт

1. Для g(x)=−(x−3)²+8 укажите ось симметрии.
2. Для g(x)=−(x−3)²+8 найдите отражение точки (1;4).
3. У функции y=−x²+6x−2 чему равна абсцисса вершины?

Вопросы 4–8: проверка симметричных пар

1. Для y=−x²+6x−2 сравните значения при x=0 и x=6.
2. Кто прав: «при ветвях вниз отражённая точка имеет противоположную ординату»?
3. У параболы y=−2(x+1)²+7 точка P(−4;−11). Найдите симметричную ей точку.
4. На параболе с ветвями вниз вершина (−2;5), точка A(−6;−3). Может ли B(2;−3) быть симметричной A?
5. Для g(x)=−(x−4)²+10 предложили пару точек (2;6) и (5;9). Симметричны ли они?

Вопросы 9–12: вывод и особые случаи

1. Отразили график y=(x−2)²−1 относительно оси Ox. Назовите новую функцию и её ось симметрии.
2. График g(x)=−3(x+2)²+12 имеет вершину V. Сколько различных точек даёт отражение самой вершины?
3. Заданы две точки одной квадратичной функции с ветвями вниз: (−3;4) и (7;4). Найдите ось симметрии.
4. У параболы y=−x²−4x+5 отражение точки с абсциссой 0 имеет x′=−4. Проверьте равенство значений.

Ключ и объяснения спорных ответов

1. x=3. В вершинной записи координата оси считывается из x−3.
2. (5;4). Отражение относительно x=3: 2·3−1=5; обе ординаты равны 4.
3. 3. h=−6/(2·(−1))=3. Отрицательное a направляет ветви вниз, не меняя формулу h.
4. Одинаковы: −2. Абсциссы 0 и 6 симметричны относительно оси x=3.
5. Утверждение неверно. Отражение относительно вертикальной оси x=h сохраняет y; отрицательный a влияет на направление ветвей, а не на правило симметрии.
6. (2;−11). h=−1; x′=−2−(−4)=2. Проверка: −2·3²+7=−11.
7. Да. Середина абсцисс (−6+2)/2=−2; ординаты совпадают.
8. Нет. При оси x=4 отражением (2;6) является (6;6), а не (5;9).
9. y=−(x−2)²+1, ось x=2. Отражение относительно Ox меняет все значения y на противоположные, но не меняет абсциссу вершины.
10. Одну. Вершина V(−2;12) уже лежит на оси симметрии x=−2.
11. x=2. При одинаковых значениях функции ось расположена посередине: (−3+7)/2=2.
12. f(0)=f(−4)=5. Ось x=−2; числа 0 и −4 равноудалены от неё, свободный член равен 5.

Оценивание и работа над ошибками

11–12 баллов — правило усвоено; 8–10 — повторите проверку середины абсцисс; 5–7 — сначала потренируйтесь находить ось x=h; 0–4 — разберите вершинную форму и отражение на координатной плоскости. Эти границы — учебная рекомендация, не официальная школьная шкала.

Типичная ошибка: отрицательный коэффициент перед квадратом трактуют как указание менять знак ординаты у парной точки. На самом деле он сообщает только, что ветви направлены вниз. Для симметричных точек одной параболы y одинаково, а среднее их абсцисс равно h. Отдельно отличайте отражение всего графика относительно Ox от отражения точки относительно оси параболы.