Восстановление делимого при делении с ограничением на остаток — тематические карточки для 5 класса

Цель: восстановить все возможные делимые, когда известны делитель, неполное частное и условие для остатка. Лист рассчитан на два самостоятельных варианта и разбор с учителем.

Памятка перед началом работы

При делении натурального числа N на положительное число d с неполным частным q и остатком r выполняется равенство N = d · q + r. Остаток — целое число, которое обязательно удовлетворяет двойному ограничению 0 ≤ r < d.

Алгоритм: сначала выпишите допустимые остатки от 0 до d − 1, затем оставьте только те, которые подходят под дополнительное условие. К каждому из них прибавьте произведение d · q. Если подходящих остатков нет, задача не имеет решения. Нулевой остаток допускается, если условие не исключает деление без остатка.

Образец. Делитель 8, неполное частное 6, остаток нечётный и меньше 5. Возможны r = 1 и r = 3, поэтому делимое N = 48 + 1 = 49 или N = 48 + 3 = 51. Проверка: 49 = 8 · 6 + 1, 51 = 8 · 6 + 3; оба остатка меньше восьми.

Запишите в ответе все возможные числа, а не только одно. В заданиях со словами «не более» и «не менее» граничное значение входит в выбор; в условии «меньше» граница не входит.

Самостоятельный вариант А

Найдите все возможные делимые для каждого набора. Сначала вычислите d · q, затем определите подходящие остатки. Место для решения можно оставить на бумаге под каждым пунктом.

1. Делитель 7, неполное частное 9; остаток чётный. Найдите все возможные делимые. ________
2. Делитель 9, неполное частное 5; остаток не больше 2. Найдите все возможные делимые. ________
3. Делитель 6, неполное частное 12; остаток больше 2, но меньше 6. Найдите все возможные делимые. ________
4. Делитель 10, неполное частное 4; остаток положительный и не больше 3. Найдите все возможные делимые. ________
5. Делитель 11, неполное частное 7; остаток на 1 меньше делителя. Найдите все возможные делимые. ________
6. Делитель 5, неполное частное 16; остаток равен 1. Найдите все возможные делимые. ________
7. Делитель 8, неполное частное 13; остаток нечётный. Найдите все возможные делимые. ________
8. Делитель 6, неполное частное 15; остаток больше 6 при делителе 6. Найдите все возможные делимые. ________
9. Делитель 12, неполное частное 3; остаток не меньше 3. Найдите все возможные делимые. ________

Самостоятельный вариант Б

Найдите все возможные делимые для каждого набора. Сначала вычислите d · q, затем определите подходящие остатки. Место для решения можно оставить на бумаге под каждым пунктом.

1. Делитель 13, неполное частное 8; остаток не больше 4. Найдите все возможные делимые. ________
2. Делитель 7, неполное частное 14; остаток нечётный и не больше 5. Найдите все возможные делимые. ________
3. Делитель 9, неполное частное 11; остаток чётный и не меньше 4. Найдите все возможные делимые. ________
4. Делитель 15, неполное частное 6; остаток равен 0. Найдите все возможные делимые. ________
5. Делитель 6, неполное частное 18; остаток больше 4. Найдите все возможные делимые. ________
6. Делитель 14, неполное частное 5; остаток меньше 2. Найдите все возможные делимые. ________
7. Делитель 8, неполное частное 17; остаток от 3 до 5 включительно. Найдите все возможные делимые. ________
8. Делитель 11, неполное частное 9; остаток больше 0, но меньше 3. Найдите все возможные делимые. ________
9. Делитель 10, неполное частное 15; остаток не меньше делителя. Найдите все возможные делимые. ________

Подробный ключ для учителя

Проверка каждого ответа состоит из двух действий: подставить число в N = d · q + r и отдельно убедиться, что 0 ≤ r < d. При нескольких делимых верны все перечисленные значения.

Ответы к варианту А

1. 1. 7 · 9 = 63; допустимые остатки: 0, 2, 4, 6; делимые: 63, 65, 67, 69. Для каждого числа N − 63 = r < 7.
2. 2. 9 · 5 = 45; допустимые остатки: 0, 1, 2; делимые: 45, 46, 47. Для каждого числа N − 45 = r < 9.
3. 3. 6 · 12 = 72; допустимые остатки: 3, 4, 5; делимые: 75, 76, 77. Для каждого числа N − 72 = r < 6.
4. 4. 10 · 4 = 40; допустимые остатки: 1, 2, 3; делимые: 41, 42, 43. Для каждого числа N − 40 = r < 10.
5. 5. 11 · 7 = 77; допустимые остатки: 10; делимые: 87. Для каждого числа N − 77 = r < 11.
6. 6. 5 · 16 = 80; допустимые остатки: 1; делимые: 81. Для каждого числа N − 80 = r < 5.
7. 7. 8 · 13 = 104; допустимые остатки: 1, 3, 5, 7; делимые: 105, 107, 109, 111. Для каждого числа N − 104 = r < 8.
8. 8. Решений нет: из условий не получается ни одного целого r в пределах 0 ≤ r < 6.
9. 9. 12 · 3 = 36; допустимые остатки: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; делимые: 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47. Для каждого числа N − 36 = r < 12.

Ответы к варианту Б

1. 1. 13 · 8 = 104; допустимые остатки: 0, 1, 2, 3, 4; делимые: 104, 105, 106, 107, 108. Для каждого числа N − 104 = r < 13.
2. 2. 7 · 14 = 98; допустимые остатки: 1, 3, 5; делимые: 99, 101, 103. Для каждого числа N − 98 = r < 7.
3. 3. 9 · 11 = 99; допустимые остатки: 4, 6, 8; делимые: 103, 105, 107. Для каждого числа N − 99 = r < 9.
4. 4. 15 · 6 = 90; допустимые остатки: 0; делимые: 90. Для каждого числа N − 90 = r < 15.
5. 5. 6 · 18 = 108; допустимые остатки: 5; делимые: 113. Для каждого числа N − 108 = r < 6.
6. 6. 14 · 5 = 70; допустимые остатки: 0, 1; делимые: 70, 71. Для каждого числа N − 70 = r < 14.
7. 7. 8 · 17 = 136; допустимые остатки: 3, 4, 5; делимые: 139, 140, 141. Для каждого числа N − 136 = r < 8.
8. 8. 11 · 9 = 99; допустимые остатки: 1, 2; делимые: 100, 101. Для каждого числа N − 99 = r < 11.
9. 9. Решений нет: из условий не получается ни одного целого r в пределах 0 ≤ r < 10.

Разбор границ. В варианте А, № 8, при делителе 6 невозможно получить остаток больше 6: даже остаток 6 запрещён. В варианте Б, № 9, требование остатка не меньше делителя противоречит самому определению деления с остатком. Это не повод угадывать делимое — необходимо написать «решений нет».

Для проверки уровня. Ученик освоил навык, если он не забывает нулевой остаток, правильно работает со строгими неравенствами и восстанавливает делимое без повторного деления каждого найденного числа.