Определение допустимых остатков при двух известных неполных частных — мини-практикум с ответами, 5 класс

Исследуем необычную ситуацию: одно и то же неизвестное делимое N разделили на два разных положительных делителя. Для каждого деления известно неполное частное, но не известен остаток. Можно ли восстановить пары допустимых остатков без перебора сотен чисел?

Наблюдение: два условия ограничивают одно число

Если при делении на 6 неполное частное равно 7, то 42 ≤ N < 48, то есть N — одно из чисел 42, 43, 44, 45, 46, 47. При делении того же числа на 8 неполное частное равно 5, значит, 40 ≤ N < 48. Общие числа — 42–47. Им соответствуют пары остатков (0; 2), (1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6), (5; 7), где сначала указан остаток при делении на 6.

Объясните, почему число 48 не подходит: при делении на 6 его неполное частное уже равно 8. А число 41 не подходит, потому что при делении на 6 неполное частное ещё равно 6.

Сформулируй правило своими словами

Задание-наблюдение. Пусть даны делители a и b, а известные неполные частные равны u и v. Запишите два интервала: a · u ≤ N < a · (u + 1) и b · v ≤ N < b · (v + 1). Пересеките интервалы, оставляя только целые N. После этого остатки определяются однозначно для каждого N: r₁ = N − a · u, r₂ = N − b · v.

Сформулируйте правило самостоятельно, не заглядывая в ответ: «Чтобы определить возможные остатки при двух известных неполных частных, сначала …». Сравните свой вывод с правилом ниже, затем найдите контрпример к ошибочному рассуждению.

Правило. Не существует двух независимо выбираемых остатков: оба относятся к одному делимому. Допустимы только пары, полученные из одного и того же числа N, попавшего в пересечение двух интервалов. Если пересечение пустое, условий одновременно выполнить нельзя.

Контрпример к поспешному ответу

Ученик сказал: «Если при делении на 6 возможны остатки от 0 до 5, а при делении на 10 — от 0 до 9, значит, любые два таких остатка подходят». Проверьте его утверждение для неполных частных 9 и 6. Первый интервал 54–59, второй 60–69. Пересечения нет: подобрать ни одну пару остатков невозможно. Это опровергает утверждение.

Исследовательские задания

Для заданий 1–9 найдите все возможные делимые и соответствующие пары остатков. Для заданий 10–12 сначала оцените, сколько решений возможно, а затем подтвердите это вычислениями. Все данные относятся к одному и тому же делимому N в пределах каждого задания.

1. Для делителей 7 и 9 неполные частные равны соответственно 8 и 6. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 7).
2. Для делителей 5 и 8 неполные частные равны соответственно 11 и 7. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 5).
3. Для делителей 9 и 11 неполные частные равны соответственно 5 и 4. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 9).
4. Для делителей 8 и 12 неполные частные равны соответственно 6 и 4. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 8).
5. Для делителей 6 и 10 неполные частные равны соответственно 9 и 6. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 6).
6. Для делителей 11 и 14 неполные частные равны соответственно 7 и 5. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 11).
7. Для делителей 4 и 7 неполные частные равны соответственно 15 и 9. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 4).
8. Для делителей 9 и 12 неполные частные равны соответственно 8 и 6. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 9).
9. Для делителей 10 и 13 неполные частные равны соответственно 7 и 5. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 10).
10. Для делителей 8 и 9 неполные частные равны соответственно 12 и 11. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 8).
11. Для делителей 7 и 12 неполные частные равны соответственно 9 и 5. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 7).
12. Для делителей 6 и 11 неполные частные равны соответственно 10 и 5. Назовите все допустимые пары остатков (сначала при делении на 6).

Дополнительное исследование

1. Составьте собственный пример с двумя разными делителями, когда известные неполные частные оставляют ровно одно возможное N. Докажите единственность пересечением интервалов.
2. Можно ли получить пару остатков (0; 0), если делимое N одновременно делится на оба делителя? Приведите конкретные числа и вычислите неполные частные.
3. Почему нельзя выбирать две пары остатков независимо, даже когда каждый остаток по отдельности меньше своего делителя? Объясните на числовом примере.

Ответы с ходом решения

1. 1. Интервалы 56–62 и 54–62; пересечение 56–62 (7 чисел). Пары остатков: (0; 2), (1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6), (5; 7), (6; 8).
2. 2. Интервалы 55–59 и 56–63; пересечение 56–59 (4 чисел). Пары остатков: (1; 0), (2; 1), (3; 2), (4; 3).
3. 3. Интервалы 45–53 и 44–54; пересечение 45–53 (9 чисел). Пары остатков: (0; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6), (6; 7), (7; 8), (8; 9).
4. 4. Интервалы 48–55 и 48–59; пересечение 48–55 (8 чисел). Пары остатков: (0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (7; 7).
5. 5. Интервалы 54–59 и 60–69 не пересекаются: ни одного допустимого остатка ни в какой паре.
6. 6. Интервалы 77–87 и 70–83; пересечение 77–83 (7 чисел). Пары остатков: (0; 7), (1; 8), (2; 9), (3; 10), (4; 11), (5; 12), (6; 13).
7. 7. Интервалы 60–63 и 63–69; пересечение 63–63 (1 чисел). Пары остатков: (3; 0).
8. 8. Интервалы 72–80 и 72–83; пересечение 72–80 (9 чисел). Пары остатков: (0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (7; 7), (8; 8).
9. 9. Интервалы 70–79 и 65–77; пересечение 70–77 (8 чисел). Пары остатков: (0; 5), (1; 6), (2; 7), (3; 8), (4; 9), (5; 10), (6; 11), (7; 12).
10. 10. Интервалы 96–103 и 99–107; пересечение 99–103 (5 чисел). Пары остатков: (3; 0), (4; 1), (5; 2), (6; 3), (7; 4).
11. 11. Интервалы 63–69 и 60–71; пересечение 63–69 (7 чисел). Пары остатков: (0; 3), (1; 4), (2; 5), (3; 6), (4; 7), (5; 8), (6; 9).
12. 12. Интервалы 60–65 и 55–65; пересечение 60–65 (6 чисел). Пары остатков: (0; 5), (1; 6), (2; 7), (3; 8), (4; 9), (5; 10).

К дополнительному исследованию. Один из примеров для единственного N — задание № 7: пересечение состоит только из 63. Для пары (0; 0) возьмите N = 24, делители 6 и 8; неполные частные равны соответственно 4 и 3. Для третьего вопроса достаточно контрпримера с интервалами 54–59 и 60–69: допустимость отдельных остатков не гарантирует существования общего N.

Самопроверка: найденные остатки всегда проверяйте сразу по двум делениям, а не только по первому. Если r₁ и r₂ найдены для одного N, то должны одновременно выполняться N = a · u + r₁ и N = b · v + r₂. Ни один из двух остатков не должен достигать делителя.