Определение допустимых остатков с неравенством для остатка: рабочий лист для 5 класса

Этот лист начинается не с правила, а с ошибочного решения. Найдите, в каком месте ученик потерял границу, неправильно понял строгий знак или забыл, что остаток неотрицателен. Только затем переходите к собственным заданиям.

Неверное решение дня

Условие: при делении на 7 остаток r удовлетворяет 2 < r ≤ 7. Записанный учеником ответ: 3, 4, 5, 6, 7. Вопрос: какое число лишнее и почему?

Исправление: 7 исключается, поскольку r < 7 при делении на 7. Верный список: 3, 4, 5, 6. В каждом задании сравнивайте условие с обязательной рамкой 0 ≤ r < d, где d — делитель.

Пять диагностических карточек: исправь ошибку

1. Ошибка 1. При делителе 9 и условии −2 ≤ r &lt; 4 ученик записал −2, −1, 0, 1, 2, 3. Что исправить? Напишите правильный набор: ________
2. Ошибка 2. При делителе 8 и условии 4 &lt; r &lt; 7 ученик записал 4, 5, 6, 7. Какие границы нарушены? Напишите правильный набор: ________
3. Ошибка 3. При делителе 6 и условии r ≠ 0, r ≤ 2 ученик включил 0 в ответ 0, 1, 2. Напишите правильный набор: ________
4. Ошибка 4. При делителе 10 и двух условиях r ≥ 8 и r &lt; 8 ученик выбрал 8. Напишите правильный набор: ________
5. Ошибка 5. При делителе 5 и условии r ≤ 8 ученик перечислил остатки от 0 до 8. Напишите правильный набор: ________

Закрепление: найди все целые допустимые остатки

Для каждой строки выпишите допустимые значения r, поясните включение граничных чисел. Если список пуст, так и напишите. В некоторых заданиях есть два ограничения одновременно.

1. Делитель 11; условие 3 ≤ r < 8. Остатки: ________.
2. Делитель 7; условие r > 4. Остатки: ________.
3. Делитель 9; условие r ≤ 0. Остатки: ________.
4. Делитель 12; условие 5 < r ≤ 9. Остатки: ________.
5. Делитель 6; условие r ≥ 6. Остатки: ________.
6. Делитель 10; условие r < 3 и r нечётный. Остатки: ________.
7. Делитель 8; условие r ≥ 2 и r чётный. Остатки: ________.
8. Делитель 5; условие r ≤ −1. Остатки: ________.
9. Делитель 14; условие 9 ≤ r < 13. Остатки: ________.
10. Делитель 7; условие r > 1 и r < 4. Остатки: ________.
11. Делитель 13; условие r ≥ 11 и r нечётный. Остатки: ________.

Ответы и объяснения

Исправления пяти ошибок

1. Отрицательный остаток невозможен. Пересечение с 0 ≤ r &lt; 9: 0, 1, 2, 3.
2. Обе границы строгие; остаются только 5 и 6.
3. Нулевой остаток исключён дополнительным условием; верный ответ 1 и 2.
4. Условия несовместимы: число не может быть одновременно ≥ 8 и &lt; 8. Решений нет.
5. Дополнительная верхняя граница не отменяет r &lt; 5; ответ 0, 1, 2, 3, 4.

Ключ к закреплению

1. 1. 3, 4, 5, 6, 7. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 11.
2. 2. 5, 6. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 7.
3. 3. 0. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 9.
4. 4. 6, 7, 8, 9. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 12.
5. 5. Решений нет: нет целого r, удовлетворяющего условию и 0 ≤ r < 6.
6. 6. 1. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 10.
7. 7. 2, 4, 6. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 8.
8. 8. Решений нет: нет целого r, удовлетворяющего условию и 0 ≤ r < 5.
9. 9. 9, 10, 11, 12. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 14.
10. 10. 2, 3. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 7.
11. 11. 11. Проверка: все названные значения удовлетворяют условию и 0 ≤ r < 13.

Быстрая контрольная проверка на границах: если в задании указано r < 8, число 8 не подходит; если r ≤ 8 — само число 8 подходит только при делителе больше 8. Помните, что знак неравенства из условия и ограничение из деления действуют одновременно.

При проверке письменной работы учитель может попросить ученика отметить два места ошибки разными словами: «граница условия» и «граница делителя». Это помогает отделить арифметический промах от неправильного понимания остатка.