Определение допустимых остатков при делении с ограничением на остаток: математический практикум для 5 класса

Цель практикума: определять все возможные остатки и связанные с ними делимые, когда задан предел остатка. В отличие от работы с буквенными неравенствами здесь ограничение встроено в числовые условия: «не больше трёх», «осталось не более двух» и т. п. Не подменяйте поиск набора одним случайным примером.

Метод: два ограничения для одного остатка

При делении N на d с неполным частным q имеем N = d · q + r, где 0 ≤ r < d. Если по условию остаток не более k, дополнительно требуем r ≤ k. Следовательно, допустимые остатки: 0, 1, …, min(d − 1, k), если k ≥ 0. При k < 0 решений нет. Если дано строгое условие r < k, верхняя граница уменьшается ещё на единицу.

Например, если 34 карандаша раскладывают в коробки по 6, остаток равен 4. Ограничение «не более трёх осталось» не выполняется; нельзя просто выбрать другой остаток, потому что число 34 уже зафиксировано. Но если число карандашей ещё не известно и неполное частное равно 5, возможны числа 30, 31, 32, 33 при ограничении r ≤ 3.

Уровень I — распознай допустимые значения

Задания 1–8. Делитель известен; составьте полный список остатков и укажите, сколько различных значений в нём. Нуль допускается, если не сказано обратное.

1. Делитель 8; остаток не более 3. Какие остатки допустимы? Сколько их?
2. Делитель 12; остаток не более 5. Какие остатки допустимы? Сколько их?
3. Делитель 5; остаток не более 7. Какие остатки допустимы? Сколько их?
4. Делитель 11; остаток не более 0. Какие остатки допустимы? Сколько их?
5. Делитель 7; остаток не более 2. Какие остатки допустимы? Сколько их?
6. Делитель 16; остаток не более 4. Какие остатки допустимы? Сколько их?
7. Делитель 9; остаток не более 8. Какие остатки допустимы? Сколько их?
8. Делитель 6; остаток не более 1. Какие остатки допустимы? Сколько их?

Уровень II — свяжи остаток с делимым

Задания 9–16. Теперь известно неполное частное. Для каждого допустимого остатка вычислите делимое. Полученный список проверьте по формуле, не забывая условие r < d.

1. Неполное частное 12, делитель 7, остаток не более 2. Назовите все возможные делимые.
2. Неполное частное 8, делитель 10, остаток не более 4. Назовите все возможные делимые.
3. Неполное частное 13, делитель 9, остаток не более 1. Назовите все возможные делимые.
4. Неполное частное 17, делитель 6, остаток не более 3. Назовите все возможные делимые.
5. Неполное частное 9, делитель 14, остаток не более 5. Назовите все возможные делимые.
6. Неполное частное 22, делитель 8, остаток не более 0. Назовите все возможные делимые.
7. Неполное частное 11, делитель 13, остаток не более 2. Назовите все возможные делимые.
8. Неполное частное 14, делитель 11, остаток не более 6. Назовите все возможные делимые.

Уровень III — несколько шагов и выбор по контексту

Задания 17–24 требуют сначала определить допустимые остатки, затем проверить дополнительное числовое условие. Для них полезно записать промежуточный список остатков; попытка выбрать ответ по догадке приводит к пропускам.

1. Делитель 9, неполное частное 14, остаток не более 6; дополнительно остаток чётный. Найдите все остатки и делимые.
2. Делитель 12, неполное частное 11, остаток не более 8; дополнительно остаток не меньше 5. Найдите все остатки и делимые.
3. Делитель 8, неполное частное 19, остаток не более 5; дополнительно остаток нечётный. Найдите все остатки и делимые.
4. Делитель 15, неполное частное 7, остаток не более 10; дополнительно остаток кратен 5. Найдите все остатки и делимые.
5. Делитель 10, неполное частное 23, остаток не более 4; дополнительно остаток больше 2. Найдите все остатки и делимые.
6. Делитель 6, неполное частное 24, остаток не более 5; дополнительно остаток чётный и не больше 3. Найдите все остатки и делимые.
7. Делитель 13, неполное частное 8, остаток не более 7; дополнительно остаток не меньше 6. Найдите все остатки и делимые.
8. Делитель 11, неполное частное 12, остаток не более 9; дополнительно делимое находится от 134 до 137 включительно. Найдите все остатки и делимые.

Ключ для быстрой проверки: уровень I

Отметьте особые случаи: № 3 — верхняя граница 7 ничего не добавляет, потому что при делителе 5 остатки ограничены числом 4. В № 4 возможен только 0, а № 7 перечисляет все остатки от 0 до 8. Эти три ситуации важно различать.

Ключ и решения: уровень II

1. № 9. Основа d · q = 7 · 12 = 84. Остатки: 0, 1, 2; делимые: 84, 85, 86. При делении каждого числа на 7 неполное частное равно 12.
2. № 10. Основа d · q = 10 · 8 = 80. Остатки: 0, 1, 2, 3, 4; делимые: 80, 81, 82, 83, 84. При делении каждого числа на 10 неполное частное равно 8.
3. № 11. Основа d · q = 9 · 13 = 117. Остатки: 0, 1; делимые: 117, 118. При делении каждого числа на 9 неполное частное равно 13.
4. № 12. Основа d · q = 6 · 17 = 102. Остатки: 0, 1, 2, 3; делимые: 102, 103, 104, 105. При делении каждого числа на 6 неполное частное равно 17.
5. № 13. Основа d · q = 14 · 9 = 126. Остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5; делимые: 126, 127, 128, 129, 130, 131. При делении каждого числа на 14 неполное частное равно 9.
6. № 14. Основа d · q = 8 · 22 = 176. Остатки: 0; делимые: 176. При делении каждого числа на 8 неполное частное равно 22.
7. № 15. Основа d · q = 13 · 11 = 143. Остатки: 0, 1, 2; делимые: 143, 144, 145. При делении каждого числа на 13 неполное частное равно 11.
8. № 16. Основа d · q = 11 · 14 = 154. Остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; делимые: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160. При делении каждого числа на 11 неполное частное равно 14.

Подробный разбор многошаговых заданий

1. № 17. Сначала 0 ≤ r ≤ 6, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Условие «остаток чётный» оставляет 0, 2, 4, 6; делимые N = 126 + r: 126, 128, 130, 132.
2. № 18. Сначала 0 ≤ r ≤ 8, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Условие «остаток не меньше 5» оставляет 5, 6, 7, 8; делимые N = 132 + r: 137, 138, 139, 140.
3. № 19. Сначала 0 ≤ r ≤ 5, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Условие «остаток нечётный» оставляет 1, 3, 5; делимые N = 152 + r: 153, 155, 157.
4. № 20. Сначала 0 ≤ r ≤ 10, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Условие «остаток кратен 5» оставляет 0, 5, 10; делимые N = 105 + r: 105, 110, 115.
5. № 21. Сначала 0 ≤ r ≤ 4, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4. Условие «остаток больше 2» оставляет 3, 4; делимые N = 230 + r: 233, 234.
6. № 22. Сначала 0 ≤ r ≤ 5, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Условие «остаток чётный и не больше 3» оставляет 0, 2; делимые N = 144 + r: 144, 146.
7. № 23. Сначала 0 ≤ r ≤ 7, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Условие «остаток не меньше 6» оставляет 6, 7; делимые N = 104 + r: 110, 111.
8. № 24. Сначала 0 ≤ r ≤ 9, поэтому кандидаты: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Условие «делимое находится от 134 до 137 включительно» оставляет 2, 3, 4, 5; делимые N = 132 + r: 134, 135, 136, 137.

В задании № 24 дополнительное ограничение относится к делимому, а не к самому остатку. Поэтому сперва нужно прибавить к остатку произведение 11 · 12 = 132 и только затем проверять диапазон 134–137. Если ошибка обнаружена на первом шаге, исправляйте её до вычисления делимых.

Проверка разумности: неполное частное и делитель фиксированы, значит, все допустимые делимые образуют небольшой отрезок целых чисел. Пропуск числа между двумя подходящими значениями обычно означает, что одно из ограничений не было проверено. Однако при условиях чётности или кратности список может иметь шаг больше 1 — это нормально.

Учитель может оценивать каждый ответ по трём признакам: полный набор остатков, верные делимые, объяснение соблюдения r < d. Если числовой ответ верен, но не учитывает верхнюю границу из условия, решение считается незавершённым. Такой порядок проверки позволяет увидеть реальное понимание, а не только удачные вычисления.

Разберём ещё один пограничный случай для самостоятельного контроля. Пусть делитель равен 5, а ограничение требует остаток не больше 9. Нельзя записывать девять как остаток: у деления остаётся собственная граница r < 5, и возможны только 0, 1, 2, 3, 4. Если же делитель равен 12, а остаток не больше 0, остаётся только нуль. Наконец, при условии «остаток меньше нуля» решений нет даже тогда, когда само делимое не названо. Эти три примера показывают три разные ситуации: внешнее ограничение слабее обычного, внешнее ограничение оставляет одно значение, условия противоречат определению остатка.