Построение контрпримера для чётности и кратности одновременно: тематические карточки для 5 класса

Цель: научиться одновременно проверять чётность и кратность, не путать условие «и» с более сильным выводом и приводить именно контрпример — число, удовлетворяющее всем исходным условиям, но нарушающее проверяемое заключение.

Работайте с натуральными числами, если в задании не сказано иное. Делимость означает деление без остатка. Одно подходящее число опровергает утверждение со словом «каждое», тогда как несколько удачных примеров не доказывают его истинность.

Метод: три короткие проверки

• Выпишите условие («чётное», «делится на 6», «между 20 и 30»).
• Проверьте выбранное число по каждой части условия, а не по одной из них.
• Покажите, что заключение ложно, и назовите остаток или другую причину. Если контрпример не получается, попробуйте доказать утверждение.

Разбор: неверно, что всякое число, кратное 4, кратно 12. Число 8 делится на 4, но 8 : 12 не даёт целого частного. Ошибка: из делимости на меньшее число нельзя автоматически заключить делимость на большее. Обратное утверждение «кратное 12 кратно 4» верно, поскольку 12 = 4 · 3.

Уровень 1 — один контрпример и две проверки

1. Опровергни: «Каждое чётное число делится на 4». Назови двузначное число и проверь оба свойства.
2. Верно ли, что каждое число, кратное 6, одновременно кратно 12? Найди наименьший положительный контрпример.
3. Найди нечётное число, делящееся на 3. Какое ошибочное обобщение оно опровергает?
4. Контрпример к фразе «если число оканчивается на 0, оно делится на 4» должен быть двузначным. Укажи его.
5. Опровергни: «Любое кратное 9 число чётное». Выбери число больше 40.
6. Покажи, что не всякое чётное число, делящееся на 5, делится на 20.
7. Возьми двузначное число, кратное 4, но не кратное 8. Запиши две проверки.
8. Найди число, которое делится на 8, но не делится на 6. Почему достаточно одного такого числа?

После первых восьми заданий проверьте форму ответа: «14 подходит по условию, потому что …, но нарушает вывод, потому что …». Ответ без проверки недостаточен: случайное число может не удовлетворять исходным требованиям.

Уровень 2 — два условия одновременно

9. Опровергни: «Всякое чётное двузначное число делится на 6». Укажи контрпример между 20 и 30.
10. Число делится на 10 и на 3. Всегда ли оно делится на 4? Найди наименьший положительный контрпример.
11. Разруши утверждение «делится на 2 и на 4, следовательно, делится на 8». Используй число меньше 20.
12. Если число делится на 6 и на 9, обязано ли оно делиться на 36? Приведи число меньше 30.
13. Построй пример нечётного числа, кратного 15, которое больше 40. Какую ошибку он показывает?
14. Существует ли чётное число, делящееся на 9, но не делящееся на 36? Приведи минимальное положительное.
15. Докажи контрпримером: «Все чётные числа, кратные 7, делятся на 28».
16. Найди число, кратное одновременно 4 и 6, но не кратное 24. Укажи общее кратное, которое достаточно проверять.

Наблюдение: когда число должно делиться на два разных делителя, сначала ищите их наименьшее общее кратное. Это помогает получить небольшой контрпример и избегать перебора сотен чисел. Однако не заменяйте НОК обычным произведением: у делителей могут быть общие множители.

Уровень 3 — изменённое число и доказательство

17. Пусть n чётно, а n + 1 делится на 3. Опровергни вывод «n делится на 6».
18. Пусть n чётно, и n + 2 делится на 4. Опровергни утверждение «n тоже делится на 4».
19. Пусть n чётно и n + 4 кратно 6. Найди n, не кратное 6.
20. Ученик утверждает: «Если число делится на 12 и чётно, значит, оно делится на 24». Проверь на самом маленьком числе.
21. Найди число меньше 50, которое кратно 3 и 2, но не кратно 12; отдельно запиши его делители 2 и 3.
22. Опровергни: «Число, делящееся на 8 и 10, всегда делится на 80». Укажи число от 30 до 50.
23. Проверь утверждение «Если число кратно 6, оно обязательно чётное». Можно ли найти контрпример среди натуральных чисел?
24. Утверждение: «Число, кратное и 4, и 9, обязательно кратно 36». Найди контрпример или докажи, что его нет.

Особенно внимательно решайте задания 23–24: здесь не требуется насильно придумывать число, которого нет. Если исходное утверждение истинно, вместо контрпримера нужна короткая цепочка рассуждений. Умение различить эти ситуации — часть проверки логического вывода.

Подробный ключ с обоснованиями

1. 14: число чётное, так как 14 = 2 · 7; при делении на 4 остаток 2. Чётность означает делимость на 2, но не обязательно на 4.
2. 6: 6 делится на 6, но 6 меньше 12 и не делится на 12. Это наименьшее положительное число, кратное 6.
3. 21 делится на 3 (21 : 3 = 7), но нечётно. Оно опровергает утверждение «все кратные 3 чётные».
4. 30 оканчивается на 0 и потому чётно, однако 30 : 4 = 7 (остаток 2). Признак делимости на 4 зависит от последних двух цифр.
5. 45 = 9 · 5, значит, кратно 9; последняя цифра 5 делает его нечётным. Значение больше 40.
6. 10 одновременно делится на 2 и 5, но на 20 без остатка не делится. Из этих условий следует делимость на 10, а не на 20.
7. 12 = 4 · 3; 12 : 8 даёт остаток 4. Поэтому посылка выполнена, а заключение «кратно 8» ложно.
8. 16 : 8 = 2, а 16 при делении на 6 даёт остаток 4. Одного примера хватает, чтобы опровергнуть слово «всегда».
9. 22 чётно, но 22 : 6 = 3 (остаток 4). Нечётное частное или размер числа не имеют значения: нужна делимость на 3.
10. 30 делится и на 10, и на 3, однако 30 : 4 имеет остаток 2. Числа 10 и 20 не делятся на 3; 30 — первый общий кратный 10 и 3.
11. 12 делится на 2 и 4, но 12 : 8 даёт остаток 4. Условие «делится на 2» ничего не добавляет к делимости на 4.
12. 18 делится на 6 (18 : 6 = 3) и на 9 (18 : 9 = 2), но на 36 не делится. Наименьшее общее кратное 6 и 9 равно 18.
13. 45 = 15 · 3, при этом 45 нечётно и больше 40. Нельзя считать любое кратное 15 чётным только потому, что 15 делится на 5.
14. 18 = 2 · 9 и не делится на 36. Число 18 — минимальное положительное общее кратное 2 и 9.
15. 14 кратно 7 и чётно, но не делится на 28. Верная обязательная делимость здесь — на 14.
16. 12 кратно 4 и 6, но не кратно 24. Общее кратное 4 и 6 обязано быть кратным 12, поскольку НОК(4, 6) = 12.
17. При n = 2 имеем n + 1 = 3, кратное 3; но 2 не кратно 6. Условие про соседнее число не делает само n кратным 3.
18. n = 2: n + 2 = 4 кратно 4, но n = 2 даёт остаток 2. Смещение на 2 меняет остаток при делении на 4.
19. n = 2: n + 4 = 6 кратно 6, само n = 2 на 6 не делится. Нельзя переносить делимость с суммы на одно слагаемое.
20. 12 делится на 12 и на 2, но не делится на 24. Требование чётности избыточно: каждое кратное 12 и так чётно.
21. 6 = 2 · 3 кратно и 2, и 3, но не делится на 12. Общие кратные этих взаимно простых чисел кратны 6, а не обязательно 12.
22. 40 : 8 = 5 и 40 : 10 = 4, но 40 : 80 не является целым. НОК(8, 10) = 40, не 80.
23. Контрпример невозможен: n = 6k = 2(3k), значит, n чётно при любом натуральном k. Нельзя опровергать истинное правило.
24. Контрпример не существует: 4 и 9 не имеют общих делителей больше 1, поэтому их общее кратное делится на 4 · 9 = 36.

Самопроверка рассуждения

За каждый пункт выставьте себе 1 балл за правильное число или доказательство и ещё 1 балл за обе проверки. Для ответов «контрпримера нет» обязательно укажите общее правило делимости. Ошибкой считается число, нарушающее не только заключение, но и исходное условие.

Итоговое правило: кратное 6 обязательно чётно, потому что шесть содержит множитель два; но просто чётное число может не делиться на 6. Если делимость на 4 и на 9 выполняется одновременно, число кратно 36; если делимость на 4 и на 6, нужна лишь кратность 12. Разницу объясняет наименьшее общее кратное.

Отдельно следите за словом «одновременно». Чтобы получить контрпример к утверждению «если число кратно 8 и 10, оно обязательно кратно 80», нужно предъявить число, у которого выполнены обе делимости. Кандидат, не делящийся на 10, не подойдёт даже при нарушенном заключении. В формальной проверке это означает два успешных теста на условие и один неуспешный тест на вывод. Полезно прямо записывать промежуточные результаты: частное без остатка, затем второе частное без остатка, затем остаток при делении на число из заключения. Такой способ убедительнее, чем ответ «нет, потому что не всегда».