Построение контрпримера при ограничениях «не больше» и «не меньше» — проверочная работа по математике, 5 класс

Ситуация: наборы для математической недели

Школьный совет готовит на каждый день одинаковые наборы карточек. Для одного занятия требуется не меньше 16 комплектов, а шкаф позволяет хранить не больше 22 комплектов. Часть записей внесли заранее; задача — найти несостоятельные обобщения о пределах и доказать ошибки контрпримером.

Все числа в таблице — целые неотрицательные количества наборов. Рассматривается одна и та же неделя, а не среднее число за месяц. Это важно: среднее значение нельзя без доказательства переносить на каждый отдельный день.

Математическая модель

Обозначим число наборов буквой x. Оба ограничения должны действовать вместе: x ≥ 16 и x ≤ 22. Кратко это записывают 16 ≤ x ≤ 22. Равенства допустимы: слова «не меньше» и «не больше» включают указанные границы.

Контрпример к фразе «Если выполнено первое ограничение, второе выполнено автоматически» — такое значение x, которое удовлетворяет первому, но нарушает второе. Контрпример обязательно должен существовать в указанной области (здесь — количество целых наборов).

Проверочная работа: 12 связанных вопросов

1. В какие дни число подготовленных наборов соответствует одновременно требованиям «не меньше 16» и «не больше 22»?
2. Один ученик сказал: «Если наборов не больше 22, то минимум 16 уже есть». Опровергни по таблице.
3. Другой ученик сказал: «В любой день, когда наборов не меньше 16, их не больше 22». Назови контрпример.
4. Почему вторник не следует исключать из списка допустимых дней?
5. Почему среда также допустима, несмотря на минимальный результат?
6. Проверь фразу «Все дни, где не больше 20 наборов, подходят». Найди два различных контрпримера.
7. Как изменится список подходящих дней, если верхний предел понизят с 22 до 20?
8. Если минимум повысят с 16 до 18 при прежнем максимуме 22, какой день опровергает утверждение «старый список полностью подходит»?
9. Запиши два числа между 10 и 30, которые удовлетворяют «не больше 22», но не «не меньше 16».
10. Запиши два числа между 10 и 30, которые удовлетворяют «не меньше 16», но нарушают «не больше 22».
11. Координатор утверждает: «Все дни, когда собрали чётное количество наборов, подходят». Опровергни.
12. Построй новый показатель для понедельника, который ровно на один набор не достигает минимума. Что он опровергает?

Ответы, проверка границ и смысл выводов

1. Понедельник (18), вторник (22), среда (16) и пятница (20). Проверяются два неравенства: 16 ≤ x ≤ 22.
2. В субботу 14 наборов: 14 ≤ 22, но 14 < 16. Достаточно одной строки таблицы.
3. Четверг: 25 ≥ 16, однако 25 > 22. Неравенство снизу не ограничивает число сверху.
4. 22 равно верхней границе. Формулировка «не больше 22» разрешает 22; неравенство нестрогое.
5. В среду 16, что равно нижней границе. «Не меньше 16» разрешает ровно 16.
6. Суббота (14) не достигает минимума, но не больше 20; воскресенье (15) также меньше 16. Оба числа удовлетворяют x ≤ 20, но нарушают нижнюю границу 16.
7. Останутся понедельник (18), среда (16) и пятница (20); вторник (22) станет недопустимым.
8. Среда: 16 входило в старый отрезок [16, 22], но не входит в новый [18, 22].
9. Например, 12 и 15: оба ≤ 22 и оба < 16; именно второе неравенство делает их контрпримерами.
10. Например, 24 и 29: оба ≥ 16, однако больше 22. Сначала проверяется область задачи 10 < x < 30.
11. Суббота: 14 — чётное, но меньше 16. Можно проверить и понедельник, но он подходит и не опровергает утверждения.
12. 15 наборов. Такое число показывает, что «почти 16» не считается «не меньше 16»; при x = 15 условие ложно.

Где возникают ошибки

Первая распространённая ошибка — считать, что «не больше 22» означает строго меньше 22, поэтому вычёркивать вторник. Вторая — объявлять число 16 неподходящим из-за слов «не меньше»: здесь тоже разрешено равенство. Третья — делать вывод об одних ограничениях на основании лишь чётности, количества десятков или близости числа к границе.

Чтобы проверить любое обобщение, составьте две колонки: «условие истинно?» и «вывод истинно?». Контрпример возможен только там, где в первой колонке «да», а во второй «нет». Если оба утверждения ложны, число не опровергает вывод вида «если …, то …».

Для практической интерпретации недостаточно сказать «25 больше 22». Надо объяснить смысл: 25 комплектов нельзя разместить в шкафу при установленном пределе. И недостаточно сказать «14 меньше 16»: 14 комплектов не обеспечат всех участников. Логические ошибки становятся видны, когда каждое неравенство связано с реальным ограничением.

Критерии оценки

Задания 1–5 проверяют чтение нестрогих неравенств (по 1 баллу). Задания 6–8 оцениваются по 2 балла за корректный контрпример и пояснение. Задания 9–12 — по 2 балла за два ограничения и правильную проверку. Максимум 19 баллов. Ошибки чаще всего связаны с включением граничных значений.

Учитель может предложить заменить число 22 на 21 и повторить проверку двух крайних дней. Цель такого дополнительного шага не увеличение числа задач, а понимание того, почему замена границы изменяет истинность утверждения.

Если школьники спорят о правдоподобии данных, предложите им объяснить свои выводы без слов «кажется» и «примерно». Для количественных ограничений нет понятия «почти входит в промежуток»: значение 15 не достигает минимума 16, даже если отличается всего на единицу, а 23 уже превышает максимум 22. Это делает числовую контрпроверку особенно полезной: конкретная строка таблицы может разрушить уверенное, но необоснованное правило. В любой задаче с неравенствами сначала уточняйте область поиска и наличие равенства на границах, затем подставляйте числа в оба условия. Даже если в задаче требуется лишь один контрпример, выпишите сразу обе проверки — это позволяет быстро отличить неподходящий вариант от настоящего опровержения.