Построение контрпримера для трёх последовательных целых чисел: диагностика ошибок, 5 класс

Диагностика предназначена для 5 класса: проверяем обобщения на трёх последовательных целых числах, включая отрицательные числа и ноль. Запись тройки: n, n + 1, n + 2, где n — целое. Числа должны отличаться на единицу, иначе выбранный «контрпример» недопустим.

Вариант А — найди ошибку в обобщении

В заданиях 1–8 не обязательно каждое правило ложно. Если опровергнуть невозможно, объясни это без перебора. Если правило ложно, проверь три условия: соседние целые, верная посылка, ложное заключение.

1. Вариант А. «Сумма трёх последовательных целых чисел всегда нечётная». Приведи контрпример.
2. Вариант А. «У трёх последовательных целых чисел ровно одно чётное». Опровергни.
3. Вариант А. «В любой тройке есть число, равное нулю». Опровергни.
4. Вариант А. «Произведение трёх последовательных целых чисел всегда положительное». Опровергни.
5. Вариант А. «Самое маленькое число в тройке всегда положительно». Опровергни.
6. Вариант А. «Если среднее число нечётно, сумма тройки нечётна». Найди пример.
7. Вариант А. «Любая тройка содержит не больше одного числа, кратного 2». Опровергни.
8. Вариант А. «Если первое число кратно 3, последнее тоже кратно 3». Опровергни.

Вариант Б — проверка чужого рассуждения

Задания 9–16 отличаются: в них нужно не только привести числа, но и заметить ошибки в самом способе проверки. Иногда чужой пример нарушает понятие последовательности; иногда ошибочно считают, что ноль не кратен положительному числу.

9. Вариант Б. Ученик предъявил 4, 6, 8 как контрпример про три подряд идущих числа. В чём ошибка?
10. Вариант Б. В доказательстве написано «три последовательных целых всегда чётные». Найди допустимую тройку, разрушающую вывод.
11. Вариант Б. Можно ли опровергнуть правило «хотя бы одно из трёх последовательных целых чисел делится на 3»?
12. Вариант Б. Кто-то пишет «для тройки −1, 0, 1 произведение не делится на 6». Исправь логическую ошибку.
13. Вариант Б. «Сумма трёх последовательных целых чисел всегда больше нуля». Опровергни.
14. Вариант Б. «Разность последнего и первого числа равна 3». Укажи контрпример и истинное правило.
15. Вариант Б. «Число посередине всегда положительно». Подбери пример с отрицательным средним.
16. Вариант Б. «Сумма трёх последовательных целых делится на 3». Есть ли контрпример? Обоснуй.

Взаимная проверка вариантов

Ученик, выполнивший вариант А, проверяет вариант Б соседа и наоборот. Для отрицательных чисел полезно проговаривать порядок: −4, −3, −2 — три числа подряд в порядке возрастания, хотя их абсолютные величины уменьшаются.

Чтобы быстро убедиться в последовательности, вычти первое число из второго и второе из третьего. В обоих случаях должна получиться единица. Для утверждения о сумме удобно выразить результат через среднее число; для делимости — посмотреть остатки по модулю 3.

Ключ учителю с объяснениями

1. 1, 2, 3: сумма 6 чётная. При этом числа действительно последовательные.
2. 2, 3, 4: чётных два (2 и 4).
3. 5, 6, 7: ни одно число не ноль.
4. −3, −2, −1: произведение −6, оно отрицательно; все числа целые и последовательные.
5. −2, −1, 0: первое число −2, поэтому утверждение ложно.
6. 2, 3, 4: среднее 3 нечётно, сумма 9 также нечётна — это не контрпример. Правило на самом деле истинно, ведь сумма равна тройному среднему.
7. 8, 9, 10: 8 и 10 кратны 2, то есть таких чисел два.
8. 6, 7, 8: 6 кратно 3, а 8 нет.
9. Это не последовательные целые числа: разности равны 2, а должны быть по 1.
10. 10, 11, 12: среди них есть нечётное 11, так что не все чётные.
11. Нет. При делении первого на 3 остаток 0, 1 или 2; среди n, n + 1, n + 2 обязательно одно кратно 3.
12. Произведение равно 0. Ноль делится на 6, поскольку 0 = 6 · 0, поэтому эта тройка не опровергает утверждение.
13. −4, −3, −2: сумма −9 < 0.
14. 7, 8, 9: 9 − 7 = 2. Для любых n, n + 1, n + 2 разность последнего и первого равна 2.
15. −6, −5, −4: среднее число −5, оно отрицательно.
16. Нет. n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1). Произведение на 3 делится на 3 при любом целом n.

Разбор неочевидных случаев

Задание 6 специально проверяет умение отличать пример от доказательства: выбранная тройка 2, 3, 4 подтверждает правило, но не доказывает его. Для любой тройки n − 1, n, n + 1 сумма равна 3n: если n нечётно, то и 3n нечётно.

В заданиях 11, 12 и 16 контрпримера нет. Среди трёх подряд идущих целых обязательно встречается число, делящееся на три; произведение содержит этот множитель и ещё хотя бы одно чётное число, поэтому кратно 6. При наличии нуля произведение также кратно 6. Проверку следует строить для всех n, а не для одного удачного набора.

Критерий: 1 балл за правильный пример или обоснование отсутствия примера, 1 балл за логическую проверку. Максимум 32. Взаимную проверку проводите по ключу после самостоятельной работы, чтобы не подменять поиск готовой подсказкой.