Построение контрпримера в задаче с истинными и ложными подсказками — тренажёр для 5 класса

Подозрительное утверждение

В игре для 5 класса на карточке написано: «Если подсказка А верна, то подсказка Б обязательно верна». Но является ли это правило надёжным? Проверяем не интуицией и не количеством совпадений: подбираем число, для которого первая подсказка истинна, а вторая ложна. Такое число и есть контрпример к логическому следованию.

Важная тонкость: число, для которого А ложна, ничего не говорит о правильности вывода «если А, то Б». Даже если Б тоже ложна, это не опровержение. Когда найти нужный вариант среди разрешённых чисел нельзя, надо объяснить почему; иногда правило верно лишь в данном маленьком списке, а не для всех натуральных чисел.

Почему метод работает

Заменим длинную фразу двумя проверками: сначала смотрим, выполняет ли число А. Если нет — это не наш контрпример. Если да, проверяем Б. Лишь сочетание «да» для А и «нет» для Б разоблачает неверный вывод. Доказательство должно предъявить такое сочетание либо показать, что в данном наборе оно невозможно.

Представьте, что учитель говорит: «Кто пришёл в форму, тот принёс тетрадь». Ученик без формы и без тетради не опровергает правило. Опроверг бы его ученик в форме, но без тетради. В числовых карточках действуют те же логические отношения.

12 карточек с истинными и ложными подсказками

1. Карточка 1. Даны варианты: 6, 9, 12, 15. Подсказка А: «число кратно 3»; подсказка Б: «число чётное». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
2. Карточка 2. Даны варианты: 8, 10, 12, 14. Подсказка А: «число чётное»; подсказка Б: «число кратно 4». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
3. Карточка 3. Даны варианты: 11, 12, 13, 14. Подсказка А: «число больше 12»; подсказка Б: «число чётное». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
4. Карточка 4. Даны варианты: 21, 22, 23, 24. Подсказка А: «число нечётное»; подсказка Б: «число больше 22». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
5. Карточка 5. Даны варианты: 30, 31, 32, 33. Подсказка А: «число не меньше 31»; подсказка Б: «число не больше 32». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
6. Карточка 6. Даны варианты: 18, 20, 22, 24. Подсказка А: «число чётное»; подсказка Б: «число не больше 24». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
7. Карточка 7. Даны варианты: 4, 6, 8, 10. Подсказка А: «число кратно 4»; подсказка Б: «число чётное». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
8. Карточка 8. Даны варианты: 35, 36, 37, 38. Подсказка А: «число кратно 5»; подсказка Б: «число нечётное». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
9. Карточка 9. Даны варианты: 42, 43, 44, 45. Подсказка А: «число кратно 3»; подсказка Б: «число чётное». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
10. Карточка 10. Даны варианты: 52, 54, 56, 58. Подсказка А: «число не меньше 56»; подсказка Б: «число кратно 4». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
11. Карточка 11. Даны варианты: 61, 62, 63, 64. Подсказка А: «число меньше 64»; подсказка Б: «число нечётное». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.
12. Карточка 12. Даны варианты: 72, 73, 74, 75. Подсказка А: «число кратно 6»; подсказка Б: «число кратно 3». Проверь вывод «если А верна, то Б тоже верна»: построй контрпример или объясни, почему его здесь нет.

Проверка особых случаев

В карточках 6–8 и 12 важно удерживать оговорку «среди перечисленных чисел». Восьмая карточка не доказывает, что любое число, кратное 5, нечётно: 40 делится на 5 и чётно. Это показывает разницу между проверкой конечного списка и общим утверждением.

Равенство в «не меньше 31» означает, что число 31 разрешено; равенство в «не больше 32» разрешает 32. А число 33 строго выходит за верхнюю границу. Не подменяйте слова «не меньше» строгим знаком > — тогда правильная проверка может оказаться ошибочной.

Аргументированные решения

1. 1. 9; оно делится на 3 и нечётно. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
2. 2. 10; оно чётно, но даёт остаток 2 при делении на 4. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
3. 3. 13; это число больше 12, но нечётное. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
4. 4. 21; нечётное число не больше 22. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
5. 5. 33; нижнее ограничение выполнено, верхнее нарушено. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
6. 6. Контрпримера нет: все числа набора чётные и не превосходят 24. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
7. 7. Контрпримера нет: 4 и 8 кратны 4 и оба чётны. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
8. 8. Контрпримера нет внутри набора: только 35 кратно 5, а оно нечётно. За пределами набора, например, 40 было бы контрпримером. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
9. 9. 45; число кратно 3, но нечётно. Число 42 подтверждает обе подсказки, но не доказывает общий вывод. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
10. 10. 58; число удовлетворяет ограничению снизу, но 58 : 4 имеет остаток 2. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
11. 11. 62; оно меньше 64, но чётное. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.
12. 12. Контрпримера нет: кратно 6 только 72, и оно кратно 3. Это верно и для любого целого кратного 6. Сначала проверена подсказка А, затем — Б; число вне предложенного набора не считается ответом, если специально не спрашивается о расширении области.

Учебная проверка

Оценивание: 1 балл за корректный выбор и 1 за объяснение истинности А и ложности Б либо за доказательство, что подходящего числа в списке нет. Итого 24 балла. Для ошибочных решений просите назвать две отдельные проверки, чтобы ученик не угадывал число по последней цифре.

Главный вывод тренажёра: неверность предположения не заставляет вторую подсказку быть ложной. Логическое следование проверяется только в случаях истинной первой подсказки. В этом различии обычно и скрывается ошибка.