Нахождение неизвестного члена отношения в задаче на соотношение компонентов — упражнения разной сложности, 6 класс

Ситуация. Школьная мастерская готовит краску для декораций: синюю основу и белую основу смешивают в отношении 2 : 5 по объёму. Задача — по известному объёму одного компонента находить другой член отношения и проверять, соответствует ли партия рецепту. Смешивание считается аддитивным по объёму — это учебная модель.

Исходные данные производственного журнала

Один и тот же рецепт действует для всех партий. Пусть S — объём синей основы, W — объём белой, тогда S : W = 2 : 5, то есть S/W = 2/5 при W > 0. Соотношение задаёт именно доли компонентов, а не их абсолютные объёмы. В семи долях смеси две приходятся на синюю основу и пять на белую.

Математическая модель и образец

Если известна синяя часть S, то белая W = S · 5 : 2. Если известна W, то S = W · 2 : 5. Когда известен общий объём V, одна доля равна V : 7. Например, из 6 л синей части получают 6 · 5 : 2 = 15 л белой и 21 л готовой смеси. Проверяем: 6/15 = 2/5.

На практике ошибочно используют выражение 6 · 2 : 5 для поиска белой части. Так получается объём меньше синего, хотя по условию белой части должно быть больше. Простая оценка отношения помогает заметить ошибку до подсчёта.

Серия связанных заданий

Задания 1–4 проверяют чтение таблицы и рецепт, 5–7 — исправление нарушенного соотношения, 8–15 — планирование расхода и обратную проверку. Все объёмы указывайте в литрах.

1. Мастерская приготовила 6 л синей основы. Сколько литров белой основы потребуется при соотношении синей и белой 2 : 5?
2. Если белой основы приготовлено 25 л, сколько нужно синей для правильной смеси?
3. В готовой смеси объёмом 49 л сколько синего и сколько белого компонента?
4. Партия из 12 л синей и 30 л белой основы соответствует рецепту? Докажите отношением.
5. В ёмкость налили 10 л синей и 20 л белой основы. Сколько белой нужно долить, чтобы соблюдать рецепт, не удаляя синюю?
6. Сколько литров смеси получится из 18 л синей основы, если белой добавляют ровно по рецепту?
7. В баке 16 л синей и 45 л белой основы. Сколько белой надо убрать, чтобы восстановить пропорцию без добавления синей?
8. Нужно получить 14 л смеси. Найдите объём каждого компонента и проверьте сумму.
9. По заказу школьного кружка нужно изготовить 21 л смеси. Сколько синего и белого добавить?
10. Если синей основы взяли 14 л, на сколько литров белой в правильной смеси больше?
11. Склад отпустил 35 л белой основы. Какой максимальный объём правильной смеси можно приготовить, если синей хватает?
12. Есть 8 л синей и 30 л белой основы. Сколько литров белой останется после приготовления правильной смеси с использованием всей синей?
13. Команда А приготовила 28 л смеси, команда Б — 35 л. Найдите синюю часть у каждой и проверьте общий расход синей.
14. Допустимы ли для половинной партии 5 л синей и 12,5 л белой основы, хотя один объём дробный?
15. Для новой партии предусмотрено 37,5 л белой основы. Сколько нужно синей и какой будет общий объём?

Разбор каждого результата

1. 15 л: 6 л соответствуют двум долям, одна доля 3 л, белая часть — 5 · 3 = 15 л.
2. 10 л: одна доля 25 : 5 = 5 л; синей нужно 2 · 5 = 10 л.
3. Всего 2 + 5 = 7 долей, 1 доля = 49 : 7 = 7 л. Синего 14 л, белого 35 л; 14 + 35 = 49.
4. Да: 12 : 30 = 2 : 5 после деления обоих членов на 6; также 5 · 12 = 2 · 30 = 60.
5. 5 л: к 10 л синей требуется 10 · 5 : 2 = 25 л белой; сейчас 20 л, недостача 5 л.
6. 63 л: белой 18 · 5 : 2 = 45 л, общий объём 18 + 45 = 63 л.
7. 5 л: к 16 л синей требуется 16 · 5 : 2 = 40 л белой; сейчас её на 5 л больше.
8. Синей 14 · 2 : 7 = 4 л, белой 14 · 5 : 7 = 10 л; 4 + 10 = 14 л и 4 : 10 = 2 : 5.
9. Синего 21 · 2 : 7 = 6 л, белого 21 · 5 : 7 = 15 л. Проверка: 6 + 15 = 21 л.
10. Белой 14 · 5 : 2 = 35 л; разница 35 − 14 = 21 л.
11. 49 л: синей нужно 35 · 2 : 5 = 14 л; всего 14 + 35 = 49 л.
12. 10 л: на 8 л синей нужно 8 · 5 : 2 = 20 л белой; остаток 30 − 20 = 10 л.
13. У А синей 28 · 2 : 7 = 8 л, у Б 35 · 2 : 7 = 10 л; всего 18 л. Белой соответственно 20 и 25 л.
14. Да: 5 : 12,5 = 2 : 5, обе части положительны. Общий объём 17,5 л; доли могут выражаться десятичными числами.
15. 15 л синей: 37,5 · 2 : 5 = 15; общий объём 52,5 л. Проверка: 15 : 37,5 = 2 : 5.

Как оценить разумность ответа

• Если белой основы должно быть в 2,5 раза больше синей, ответ с меньшим объёмом белой подозрителен.
• Если известен объём всей смеси, сумма найденных частей обязана равняться этому объёму.
• При корректировке рецепта удаляют или добавляют только тот компонент, который указан в условии: нельзя незаметно менять оба.
• При переходе от маленькой партии к большой сохраняется отношение 2 : 5, но объёмы каждого компонента меняются.

Полезно разделять два вида задач. Для партии из 49 л неизвестны сразу оба объёма, поэтому сперва находим размер одной из семи долей. Для партии из 25 л белой основы неизвестен только другой член уже известного отношения 2 : 5. В обоих случаях конечная проверка одна — перекрёстное равенство 5S = 2W.

В задаче 7 важно понять, что слово «убрать» запрещает добавление синей основы. Можно было бы сохранить 45 л белой и добавить 2 л синей, но это был бы ответ на другую задачу. В задаче 12, наоборот, всю синюю основу нужно использовать, поэтому остаток считают только для белой.

Для учителя: четыре показателя качества

Проверьте, правильно ли ребёнок подписал компоненты, составил отношение в указанном порядке, сохранил единицы измерения и выполнил обратную проверку. Одно верно найденное число ещё не гарантирует понимания модели; полезно попросить объяснить, почему белая часть больше синей именно в 2,5 раза.