Проверка маршрута по координатам при переходе через начало координат — диагностика ошибок, 6 класс

Диагностика ошибок при проверке пути через начало координат O(0; 0). Следите за двумя разными условиями: попасть в O как в отмеченную вершину и пройти через O внутри отрезка. Любой путь соединяет соседние перечисленные точки прямыми отрезками. Точка на оси x или y сама по себе ещё не означает прохождение через O.

Исходная таблица наблюдений

В заданиях 1–6 отметьте «да» или «нет» и объясните положение O относительно всех отрезков. Не путайте формулировку «на оси» с «в начале координат». Для диагонального отрезка используйте одинаковые изменения x и y по модулю, если движение вдоль прямой y = x.

Блок А. Читаем таблицу и исправляем ошибки

1. Проверьте маршрут Р1. Проходит ли он через O?
2. Проверьте маршрут Р2. Проходит ли он через O?
3. Проверьте маршрут Р3. Проходит ли он через O?
4. Проверьте маршрут Р4. Проходит ли он через O?
5. Проверьте маршрут Р5. Проходит ли он через O?
6. Проверьте маршрут Р6. Проходит ли он через O?
7. Ученик сказал: «Всякий маршрут, пересекающий ось ординат, проходит через O». Приведите контрпример из таблицы.
8. Ученик отметил путь (−3; 1) → (3; 1) как проходящий через O. Где его действительное пересечение оси ординат?
9. Нужно ли добавлять O как отдельную вершину к пути (−6; 0) → (5; 0), чтобы он считался проходящим через начало?
10. Путь (−2; −5) → (2; 5) пересекает O? Докажите расчётом середины.
11. Маршрут (−1; 4) → (1; −2) проходит через O? Проверьте в точке x = 0.
12. Для маршрута (0; −7) → (0; −1) → (0; 2) найдите звено, проходящее через O.
13. Путь (−5; 0) → (−1; 0) → (2; 2) проходит через O?
14. К маршруту (4; 0) → (1; 0) добавили вершину (−2; 0). После какого звена впервые достигается O?
15. На пути (−2; 2) → (2; −2) где лежит O и обязательно ли записывать его вершиной?
16. Исправьте сообщение «путь (0; 3) → (3; 0) содержит O». Достаточно ли, что обе точки лежат на осях?

Ответы с объяснением: исправляем таблицу

1. Да. Первый отрезок идёт по y = 0 от x = −4 до x = 3, поэтому содержит O.
2. Нет. Все вершины на y ≥ 1; ни одно звено не доходит до O.
3. Да. Первый диагональный отрезок по y = x идёт от (−3; −3) до (2; 2), значит включает O.
4. Нет. Первое звено вертикально на x = 2; второе горизонтально при y = 3. Ни одно не содержит O.
5. Да. Средняя вершина прямо равна O, поэтому маршрут проходит через начало координат.
6. Да. Средняя вершина O; оба соседних отрезка имеют конец в O.
7. Неверно. Маршрут Р4 заканчивается на x = 0 в точке (0; 3), но O не проходит.
8. (0; 1). Горизонтальный путь имеет y = 1, поэтому точка пересечения с x = 0 не равна O.
9. Нет. Отрезок уже содержит (0; 0): x меняется от отрицательного значения к положительному при y = 0.
10. Да. Середина концов ((−2+2)/2; (−5+5)/2) = (0; 0), значит отрезок содержит O.
11. Нет. При x = 0 середина отрезка равна (0; 1), а не O.
12. Второе. От (0; −1) до (0; 2) вертикальный отрезок проходит через y = 0.
13. Нет. Первое звено остаётся слева от O; второе пересекает x = 0 при y > 0.
14. После второго звена. Звено (1; 0) → (−2; 0) содержит нуль; первое расположено при x ≥ 1.
15. Внутри звена. О — середина диагонального отрезка; отдельная вершина не обязательна.
16. Нет. Отрезок соединяет (0; 3) и (3; 0) по прямой x + y = 3, поэтому O (с суммой 0) не лежит на нём.

Блок Б. Универсальный способ самопроверки

• Если целый отрезок горизонтален и y = 0, начало координат лежит на нём лишь тогда, когда x проходит от ≤ 0 до ≥ 0 или наоборот.
• Если отрезок вертикален и x = 0, проверьте, находится ли нуль между конечными y.
• Для диагонали сначала проверьте принадлежность точки O прямой через концы, затем убедитесь, что O находится между концами, а не на продолжении.
• Отметка O как вершины достаточна для положительного ответа, но не обязательна: маршрут может пройти через O внутри одного звена.

Оценивание: за каждую задачу 1 балл за вывод и 1 балл за объяснение. При расхождении сверяйте не только итоговый «да/нет», но и конкретное звено, на котором сделан вывод. Самая частая ошибка — принимать пересечение одной из осей в любой точке за прохождение через (0; 0).

Дополнительная проверка для диагонали: возьмём концы A(−3; 6) и B(3; −6). Середина равна ((−3 + 3) : 2; (6 − 6) : 2) = (0; 0), поэтому путь точно проходит через O. Но если заменить B на (3; −4), середина станет (0; 1). Хотя x у середины равен нулю, это не начало координат. Такой способ проверки особенно удобен для отрезков с противоположными по x конечными точками.