Подсчёт допустимых пар в задаче с различающимися маршрутами — тематические карточки для 6 класса

Рассматриваются двухэтапные маршруты: на первом участке выбирают один путь, на втором — другой. Пара записывается в порядке (первый путь, второй путь), поэтому (A; B) и (B; A) считаются различными, если оба разрешены. Подсчитываем только те пары, которые удовлетворяют ограничениям; «маршруты различаются» иногда означает запрет повторять один и тот же путь на двух этапах, а иногда — запрет специально перечисленных комбинаций. Это нужно читать в условии.

Разобранный пример — и обратная проверка

Два этапа экскурсии: первый выбирают из A, B, C, второй — из 1, 2, 3, 4. Без ограничений 3 · 4 = 12 упорядоченных пар. Ремонт закрывает переход (B; 2). Значит допустимых пар 12 − 1 = 11. Обратная проверка: для A — четыре продолжения, для B — три, для C — четыре; 4 + 3 + 4 = 11.

В следующих задачах сначала нарисуйте таблицу пар или компактную схему, потом примените правило умножения и вычтите запрещённые случаи. Для каждого задания в ключе перечислены или охарактеризованы исключённые пары: это позволяет проверить результат не угадыванием, а перечислением.

Изменяем условия: упражнения на допустимые пары

1. Маршрут парка: на первом этапе A, B, C, на втором 1, 2, 3, 4; запрещены (A; 3) и (C; 4). Сколько маршрутов?
2. Два дня на трёх тропах P, Q, R. В один день нельзя повторить тропу. Сколько упорядоченных планов?
3. Первая станция L, M, N, O; вторая 1, 2, 3. Недоступны (L; 2), (M; 2), (N; 3). Найдите число пар.
4. Два выбора из A, B, C, D; запрещено повторить букву и запрещён переход (A; B). Сколько допустимых пар?
5. Поездка с первой развилкой X, Y и второй 1, 2, 3, 4, 5; закрыт путь (Y; 5). Сколько вариантов?
6. Участок 1 — S, T, U, V; участок 2 — 1, 2, 3, 4; запрещены все пары с первым S и вторым 4, а также (T; 1) и (U; 3). Сколько?
7. План из двух разных улиц A, B, C, D, E. Первая и вторая улица не совпадают. Сколько маршрутов?
8. Из A, B, C на первом этапе и из 1, 2 на втором: закрыты оба продолжения после B. Сколько допустимых?
9. На первом этапе K, L, M, на втором P, Q, R. Нельзя (K; Q) и (M; P). Сколько?
10. На первом этапе A, B, C, D; на втором 1, 2, 3. Все варианты с первым D запрещены. Сколько?
11. Два дня с выбором троп A, B, C, D. Тропы в разные дни должны отличаться, а пара (C; A) закрыта. Сколько?
12. На первом участке 1, 2, 3; на втором A, B, C, D. Подходят только варианты с первым 2 или 3. Сколько?
13. Два этапа: первая тропа A, B, C; вторая тропа A, B, C. Разрешены лишь разные тропы, причём (B; C) и (C; A) закрыты. Сколько?
14. На первом участке P, Q, R, S, T; на втором 1, 2. Недоступны (P; 1), (Q; 2), (T; 2). Сколько?
15. Два выбора из A, B, C. Первый должен отличаться от второго и второй не может быть C. Сколько?
16. Первая часть A, B, C, D; вторая 1, 2, 3, 4. Закрыты (A; 1), (A; 2), (D; 3), (D; 4). Сколько?

Полные решения и обратная проверка

1. Всего 3 · 4 = 12 упорядоченных пар; запрещены (A; 3), (C; 4) — 2. Допустимо 12 − 2 = 10.
2. Всего 3 · 3 = 9 упорядоченных пар; запрещены (P; P), (Q; Q), (R; R) — 3. Допустимо 9 − 3 = 6.
3. Всего 4 · 3 = 12 упорядоченных пар; запрещены (L; 2), (M; 2), (N; 3) — 3. Допустимо 12 − 3 = 9.
4. Всего 4 · 4 = 16 упорядоченных пар; запрещены (A; A), (A; B), (B; B), (C; C), (D; D) — 5. Допустимо 16 − 5 = 11.
5. Всего 2 · 5 = 10 упорядоченных пар; запрещены (Y; 5) — 1. Допустимо 10 − 1 = 9.
6. Всего 4 · 4 = 16 упорядоченных пар; запрещены (S; 4), (T; 1), (U; 3) — 3. Допустимо 16 − 3 = 13.
7. Всего 5 · 5 = 25 упорядоченных пар; запрещены (A; A), (B; B), (C; C), (D; D), (E; E) — 5. Допустимо 25 − 5 = 20.
8. Всего 3 · 2 = 6 упорядоченных пар; запрещены (B; 1), (B; 2) — 2. Допустимо 6 − 2 = 4.
9. Всего 3 · 3 = 9 упорядоченных пар; запрещены (K; Q), (M; P) — 2. Допустимо 9 − 2 = 7.
10. Всего 4 · 3 = 12 упорядоченных пар; запрещены (D; 1), (D; 2), (D; 3) — 3. Допустимо 12 − 3 = 9.
11. Всего 4 · 4 = 16 упорядоченных пар; запрещены (A; A), (B; B), (C; A), (C; C), (D; D) — 5. Допустимо 16 − 5 = 11.
12. Всего 3 · 4 = 12 упорядоченных пар; запрещены (1; A), (1; B), (1; C), (1; D) — 4. Допустимо 12 − 4 = 8.
13. Всего 3 · 3 = 9 упорядоченных пар; запрещены (A; A), (B; B), (B; C), (C; A), (C; C) — 5. Допустимо 9 − 5 = 4.
14. Всего 5 · 2 = 10 упорядоченных пар; запрещены (P; 1), (Q; 2), (T; 2) — 3. Допустимо 10 − 3 = 7.
15. Всего 3 · 3 = 9 упорядоченных пар; запрещены (A; A), (A; C), (B; B), (B; C), (C; C) — 5. Допустимо 9 − 5 = 4.
16. Всего 4 · 4 = 16 упорядоченных пар; запрещены (A; 1), (A; 2), (D; 3), (D; 4) — 4. Допустимо 16 − 4 = 12.

Почему проверка по строкам лучше догадки

Возьмите задачу 4. Если выбрать первую букву A, для второго этапа нельзя A и B, остаются C и D — два продолжения. Если сначала B, C или D, для второго этапа остаются по три отличающиеся буквы. Итого 2 + 3 + 3 + 3 = 11. То же даёт счёт 4 · 4 − 4 одинаковых пар − 1 отдельно закрытый переход. Два способа проверки совпали.

Задача 13 показывает другую опасность: если вычесть только два закрытых перехода, будут ошибочно засчитаны три маршрута с повторением одной буквы. Разделяйте запреты и не вычитайте одну запрещённую пару дважды: удобно сразу помечать её клетку в таблице. Перестановка этапов может создать совершенно другой путь; не делите количество на два без специального требования считать маршруты без учёта порядка.

Для самостоятельной проверки нарисуйте прямоугольник из числа вариантов первого этапа (строки) и второго (столбцы). Закрасьте запретные клетки и пересчитайте оставшиеся. Если число больше общего числа клеток или отрицательно, это ошибка. Если двухэтапный путь должен состоять из разных улиц, зачеркните главную диагональ — пары (A; A), (B; B) и т. д. Этот приём годится, даже когда словесное условие выглядит сложнее обычного умножения.

Самостоятельная обратная проверка по ограничениям

В задаче 7 сначала назовите первый путь. Для A есть ровно четыре разрешённых продолжения — B, C, D, E; аналогично для каждой из пяти первых букв. Поэтому 5 · 4 = 20. Ошибка «10» возникает, когда ученик считает AB и BA одним вариантом: здесь это разные последовательности улиц. Для задачи 10 наоборот запрещена вся строка с первым D: вместо вычитания трёх отдельных клеток можно сразу подсчитать три разрешённые первые буквы и по три продолжения для каждой — 3 · 3 = 9.

Для задачи 15 условие «во второй позиции не C» сразу оставляет только A и B. Если поставить A вторым, первый может быть B или C; если B вторым, первым может быть A или C. Получаются четыре пары: (B; A), (C; A), (A; B), (C; B). Видно, почему нельзя просто взять 3 · 2 без учёта запрета на C во второй позиции: такое умножение дало бы шесть, в том числе два лишних случая. Эта обратная проверка по столбцам полезна, когда ограничения касаются именно второго этапа.