Показательные неравенства по монотонности функции — упражнения для печати, 10 класс

Правило монотонности и печатная карточка

Для 10 класса. Темп изучения показательных и логарифмических выражений в программах России и Казахстана различается: используйте задания после прохождения соответствующих правил. Внутри материала сначала расположен ученический вариант, затем отдельный ключ для проверки.

Если a > 1, функция a^x возрастает: при сравнении степеней одного основания знак неравенства сохраняется. Если 0 < a < 1, функция убывает и знак обязательно переворачивается. При a = 1 сравнение показателей вообще не даёт нужного вывода: это постоянная функция.

Серия 1. Десять коротких упражнений

Рядом с каждым номером отметьте «сохраняем» или «меняем» знак, а затем решите обычное линейное неравенство. Не спешите переносить слагаемые в уме: ошибки часто связаны с отрицательным коэффициентом у x.

1. (2)^{x + 2} > (2)⁵. Ответ: ____________________.
2. (3)^{2x − 1} ≥ (3)³. Ответ: ____________________.
3. (1/2)^{x + 1} < (1/2)⁻². Ответ: ____________________.
4. (1/3)^2x ≤ (1/3)⁴. Ответ: ____________________.
5. (2)^{3x − 2} < (2)^{x + 4}. Ответ: ____________________.
6. (3)^{2x + 3} > (3)^{x − 1}. Ответ: ____________________.
7. (1/2)^{3x − 1} ≥ (1/2)^{x + 3}. Ответ: ____________________.
8. (1/4)^x > (1/4)⁻². Ответ: ____________________.
9. (5)^{x − 4} ≤ (5)¹. Ответ: ____________________.
10. (2)^{4x + 1} ≥ (2)^{2x + 7}. Ответ: ____________________.

Серия 2. Заполните пропуски и объясните выбор

Выполните пункты 11–16. Для каждого укажите тип монотонности, соответствующее линейное неравенство и интервал решений. В номерах 13 и 14 сравните показатели до умножения или деления на отрицательное число.

1. (1/3)^{x + 4} < (1/3)² → показатели: ________ ; итог: ________.
2. (3)^{x − 2} ≥ (3)^{3x − 6} → показатели: ________ ; итог: ________.
3. (2)^{x + 5} > (2)^{x + 2} → показатели: ________ ; итог: ________.
4. (1/2)^{2x + 2} ≤ (1/2)^{2x + 3} → показатели: ________ ; итог: ________.
5. (4)^{x + 1} < (4)³ → показатели: ________ ; итог: ________.
6. (1/2)^2x > (1/2)⁴ → показатели: ________ ; итог: ________.

Итоговая самостоятельная работа

Без таблицы правил решите последние четыре задания. Для № 17–20 составьте контрольную подстановку: одно число из вашего ответа и одно вне множества решений. При равных показателях строгое неравенство должно оказаться неверным.

1. (3)^{x − 5} ≤ (3)^{2x + 1}
2. (2)^{x + 1} ≥ (2)^{3x − 7}
3. (1/3)^{3x + 2} < (1/3)^{x + 4}
4. (5)^{2x + 6} > (5)^{2x + 7}

Ключ и самопроверка

1. (2)^{x + 2} > (2)⁵. 3 < x. Основание 2: знак сохраняется.
2. (3)^{2x − 1} ≥ (3)³. 2 <= x. Основание 3: знак сохраняется.
3. (1/2)^{x + 1} < (1/2)⁻². -3 < x. Основание 1/2: знак меняется.
4. (1/3)^2x ≤ (1/3)⁴. 2 <= x. Основание 1/3: знак меняется.
5. (2)^{3x − 2} < (2)^{x + 4}. x < 3. Основание 2: знак сохраняется.
6. (3)^{2x + 3} > (3)^{x − 1}. -4 < x. Основание 3: знак сохраняется.
7. (1/2)^{3x − 1} ≥ (1/2)^{x + 3}. x <= 2. Основание 1/2: знак меняется.
8. (1/4)^x > (1/4)⁻². x < -2. Основание 1/4: знак меняется.
9. (5)^{x − 4} ≤ (5)¹. x <= 5. Основание 5: знак сохраняется.
10. (2)^{4x + 1} ≥ (2)^{2x + 7}. 3 <= x. Основание 2: знак сохраняется.
11. (1/3)^{x + 4} < (1/3)². -2 < x. Основание 1/3: знак меняется.
12. (3)^{x − 2} ≥ (3)^{3x − 6}. x <= 2. Основание 3: знак сохраняется.
13. (2)^{x + 5} > (2)^{x + 2}. все действительные x. Основание 2: знак сохраняется.
14. (1/2)^{2x + 2} ≤ (1/2)^{2x + 3}. решений нет. Основание 1/2: знак меняется.
15. (4)^{x + 1} < (4)³. x < 2. Основание 4: знак сохраняется.
16. (1/2)^2x > (1/2)⁴. x < 2. Основание 1/2: знак меняется.
17. (3)^{x − 5} ≤ (3)^{2x + 1}. -6 <= x. Основание 3: знак сохраняется.
18. (2)^{x + 1} ≥ (2)^{3x − 7}. x <= 4. Основание 2: знак сохраняется.
19. (1/3)^{3x + 2} < (1/3)^{x + 4}. 1 < x. Основание 1/3: знак меняется.
20. (5)^{2x + 6} > (5)^{2x + 7}. решений нет. Основание 5: знак сохраняется.

Вопрос на понимание: в № 13 и № 14 показатели отличаются только на константу; поэтому сравнение одинаковых степеней верно либо при всех x, либо ни при одном x. Это полезный контроль здравого смысла: ответ может быть не только промежутком, но и всей числовой прямой или пустым множеством.

Три эталонных рассуждения для проверки результата

Пример с возрастающей функцией: 2^3x−1 ≥ 2⁵. Поскольку 2 больше единицы, получаем 3x − 1 ≥ 5, затем 3x ≥ 6 и x ≥ 2. Граничная точка 2 включается, так как знак нестрогий, и при x = 2 обе стороны равны.

Пример с убывающей функцией: (1/3)^x+2 > (1/3)⁴. Поскольку основание лежит между нулём и единицей, знак разворачивается: x + 2 < 4, значит x < 2. При x = 2 было бы равенство, поэтому граничная точка исключена. Это принципиально иной ход, чем в первом примере.

Пример без зависимости от x: 2^x+5 > 2^x+2. Сравнение показателей превращается в x + 5 > x + 2, то есть 5 > 2. Оно верно при каждом действительном x. Если же заменить правый показатель на x + 8, получится 5 > 8 — неверно при любом x. Проверяйте, не исчезла ли переменная после преобразования: тогда ответом может быть всё множество чисел или пустое множество.

Если ученик сомневается, предложите пробные точки x = 0 и x = 3. При этом помните: две подстановки помогают обнаружить ошибку, но не заменяют строгое преобразование. В итоговой работе записывайте ответ знаком неравенства или интервалом и отдельно отмечайте включение границ.