Тренажёр для 10 класса — основное логарифмическое тождество

Формула, которую нужно уметь применять

Для 10 класса. Темп изучения показательных и логарифмических выражений в программах России и Казахстана различается: используйте задания после прохождения соответствующих правил. Внутри материала сначала расположен ученический вариант, затем отдельный ключ для проверки.

При a > 0, a ≠ 1 и b > 0 справедливо a^log_ab = b. Тождество верно потому, что логарифм отвечает на вопрос, в какую степень следует возвести основание a. Если в основании степени и в основании логарифма стоят разные числа, немедленно «сократить» их нельзя: сначала привести к одному основанию.

Ошибка на доске: 4^{log₂ 3} = 3. Неверно! Здесь основания 4 и 2 различаются. Правильно: 4^{log₂ 3} = (2²)^{log₂ 3} = 3² = 9.

Вариант А — вычисления без лишних действий

Выпишите итог без промежуточных десятичных приближений. В случае дробного основания снова проверяйте, что основание положительно и не равно единице.

1. 2^{log₂ 11} = ____________________
2. 3^{log₃ 7} = ____________________
3. 5^{log₅ (1/25)} = ____________________
4. 10^{log₁₀ 0,4} = ____________________
5. 4^{log₄ 9} = ____________________
6. (1/2)^{log_1/2 16} = ____________________
7. 7^{log₇ 1} = ____________________
8. 9^{log₉ (1/3)} = ____________________
9. 2^{log₂ √5} = ____________________

Вариант Б — тождество с переменной и областью определения

Помимо результата обязательно подпишите область допустимых значений x. Две записи могут совпадать алгебраически, но исходное выражение не обязательно определено при всех x.

1. 3^{log₃(x + 2)} = ____________________
2. 2^{log₂(x − 6)} = ____________________
3. 5^log₅(3x) = ____________________
4. 4^{log₄(10 − x)} = ____________________
5. 2^{log₂(x² + 1)} = ____________________
6. 7^{log₇(x² − 9)} = ____________________
7. (1/3)^{log_1/3(2x − 1)} = ____________________
8. 3^log₃(x²) = ____________________
9. 2^log₂(−5) = ____________________

Вариант В — выражения с преобразованием оснований

Найдите короткий законный путь: представьте 4, 8 или 9 как степень числа, стоящего у знака log; или объедините показатели с одинаковым основанием.

1. 4^{log₂ 3} = ____________________
2. 9^{(1/2)log₃ 7} = ____________________
3. 3^{log₉ 16} = ____________________
4. 2^{log₂ 3 + log₂ 5} = ____________________
5. 2^{log₂ 24 − log₂ 3} = ____________________
6. 5^{2log₅ 2} = ____________________
7. 8^{(1/3)log₂ 11} = ____________________
8. 2^{log₄ 81} = ____________________
9. 3^{2log₃ 4 − log₃ 2} = ____________________

Полный ключ для трёх вариантов

Вариант А

1. 2^{log₂ 11} = 11.
2. 3^{log₃ 7} = 7.
3. 5^{log₅ (1/25)} = 1/25.
4. 10^{log₁₀ 0,4} = 0,4.
5. 4^{log₄ 9} = 9.
6. (1/2)^{log_1/2 16} = 16.
7. 7^{log₇ 1} = 1.
8. 9^{log₉ (1/3)} = 1/3.
9. 2^{log₂ √5} = √5.

Вариант Б

1. 3^{log₃(x + 2)} = x + 2, x > −2.
2. 2^{log₂(x − 6)} = x − 6, x > 6.
3. 5^log₅(3x) = 3x, x > 0.
4. 4^{log₄(10 − x)} = 10 − x, x < 10.
5. 2^{log₂(x² + 1)} = x² + 1, любое действительное x.
6. 7^{log₇(x² − 9)} = x² − 9, x < −3 или x > 3.
7. (1/3)^{log_1/3(2x − 1)} = 2x − 1, x > 1/2.
8. 3^log₃(x²) = x², x ≠ 0.
9. 2^log₂(−5) = не определено в действительных числах.

Вариант В

1. 4^{log₂ 3} = 9, так как 4 = 2².
2. 9^{(1/2)log₃ 7} = 7, так как 9 = 3².
3. 3^{log₉ 16} = 4, так как 9 = 3².
4. 2^{log₂ 3 + log₂ 5} = 15.
5. 2^{log₂ 24 − log₂ 3} = 8.
6. 5^{2log₅ 2} = 4.
7. 8^{(1/3)log₂ 11} = 11.
8. 2^{log₄ 81} = 9.
9. 3^{2log₃ 4 − log₃ 2} = 8.

Проверка учителю

За А — 9 баллов, за Б — 18 баллов (результат и ОДЗ), за В — 18 баллов (результат и обоснование): максимум 45. Ошибки в А обычно означают непонимание формулы; ошибки в Б — игнорирование положительности аргумента; ошибки в В — незаконное сокращение разных оснований. Для коррекции попросите ученика перевести две ошибочные строки в степенное равенство, а затем пересчитать их.

Подробное объяснение варианта А: что именно сокращается

В первых двух заданиях основание степени полностью совпадает с основанием логарифма. Поэтому выражение 2^log₂11 равно 11, а 3^log₃7 равно 7. Здесь не нужно вычислять логарифм десятичным калькулятором: он обозначает ровно тот показатель, который возвращает число 11 или 7.

В третьем задании число внутри логарифма равно 1/25; оно положительно, поэтому тождество применимо и ответ 1/25 законен. Десятичный аргумент 0,4 в четвёртом пункте тоже положителен и не делает логарифм неправильным. В пятом пункте 4 и 4 — одинаковые основания, даже если сам аргумент 9 не является целой степенью четвёрки.

В шестом задании основание равно 1/2. Оно допустимо: строго положительно и не равно единице. Несмотря на то, что функция убывает, взаимно обратные операции всё равно возвращают 16. В седьмом пункте аргумент равен единице, его логарифм равен нулю; 7⁰ = 1. В восьмом аргумент меньше единицы, но больше нуля, а значит ответ 1/3 сохраняется. Последний пункт с √5 показывает, что результат может быть иррациональным числом, причём положительность √5 позволяет применить формулу.

Подробное объяснение варианта Б: ОДЗ важнее сокращения

Для x + 2 требуется x > −2; для x − 6 — x > 6; для 3x — x > 0. После преобразования получаются соответственно x + 2, x − 6 и 3x, однако формулы не позволяют добавлять значения x, запрещённые исходными логарифмами. Например, при x = 4 выражение x − 6 существует как число −2, но log₂(x − 6) не определён.

В выражении с 10 − x граница меняется: необходимо x < 10. Для x² + 1 положительность автоматическая при каждом действительном x, поскольку квадрат неотрицателен и прибавляется единица. Для x² − 9 одного ограничения x ≠ 3 недостаточно: нужно x < −3 или x > 3. Эти промежутки получаются из неравенства (x − 3)(x + 3) > 0.

Для 2x − 1 получаем x > 1/2; дробное основание 1/3 не меняет требование положительности аргумента. Для x² нужна лишь граница x ≠ 0: все остальные квадраты положительны. В последнем примере аргумент −5 всегда отрицателен, так что выражение отсутствует в действительной области. Это не число −5 и не отрицательный логарифм.

Подробное объяснение варианта В: как согласовать основания

Когда основания различаются, сначала надо представить большее основание как степень меньшего. Так 4 = 2², поэтому 4^log₂3 = 2^2log₂3 = 3² = 9. По той же причине 9^(1/2)log₃7 = 3^log₃7 = 7. В третьем номере полезно воспользоваться равенством log₉16 = (1/2)log₃16, что даёт √16 = 4.

Сложение логарифмов одного основания в показателе превращается в произведение положительных аргументов: 2^{log₂3 + log₂5} = 3·5 = 15. Разность логарифмов даёт частное: 2^{log₂24 − log₂3} = 24/3 = 8. В шестом задании 5^2log₅2 = (5^log₅2)² = 4.

В седьмом пункте 8 = 2³, а множитель 1/3 при показателе компенсирует тройку, поэтому результат 11. В восьмом 2^log₄81 = 2^{(1/2)log₂81} = √81 = 9. В девятом 3^{2log₃4 − log₃2} = 4²/2 = 8. Во всех этих преобразованиях аргументы логарифмов положительны, а разные основания были согласованы до применения тождества.

При самопроверке полезно отделить два вопроса: можно ли вообще записать исходное выражение и можно ли выполнить преобразование без изменения его смысла? Простая подстановка приближённых десятичных значений логарифмов часто даёт ошибку округления. Алгебраическое преобразование даёт точный ответ, поэтому особенно предпочтительно в самостоятельной и проверочной работе.

Памятка по трём способам самоконтроля

Первый способ — проверка области определения: подпишите возле каждого логарифма его основание и аргумент. Основание должно быть положительным и отличным от 1, аргумент — строго положительным. Особенно это важно в варианте Б: после применения тождества полученное выражение может быть определено при большем числе x, чем исходный логарифм. Добавлять такие x в ответ нельзя.

Второй способ — перевод в обратную степень. Равенство log_ab = c означает a^c = b. Если вы уверены, что при допустимых a и b полученная степень вновь даёт b, задача решена по определению. Например, запись log₄16 = 2 легко проверяется равенством 4² = 16. Такой приём полезен при дробных и отрицательных показателях.

Третий способ — согласование основания перед упрощением. Если внешнее основание равно 8, а внутренний логарифм имеет основание 2, замените 8 на 2³. Затем коэффициент 3 выносится в показатель и можно применить основное тождество. Этот шаг работает и для дробных степеней; он не зависит от того, умеет ли ученик вычислять сам логарифм.

При работе с вариантом В не полагайтесь на округлённые значения логарифмов из калькулятора: близкое к точному число не заменяет доказательства. Записывайте преобразования по порядку и сохраняйте условия допустимости. Достаточно один раз объяснить в тетради, почему основания согласованы, а затем применять тот же приём без лишних промежуточных вычислений.