Рабочий лист: умножение одночлена на многочлен — математика, 7 класс
7 класс · Алгебра · Материал для распечатки
Рабочий лист с наглядной таблицей, исследованием равенств и проверкой результата по значениям переменных.
Содержание статьи6 разделов
Схема: каждый член получает множитель
Распределительное свойство можно увидеть как несколько одинаковых действий. Если перед скобками стоит 3x, то выражение 3x(2x + 5 − y) означает три произведения: (3x·2x) + (3x·5) − (3x·y). Получается 6x² + 15x − 3xy. Множитель 3x нельзя «потратить» только на первый член: он должен попасть в каждый.
| В скобках | 2x | +5 | −y |
|---|---|---|---|
| Умножаем на 3x | 6x² | +15x | −3xy |
При вычислении удобно сначала перемножить числовые коэффициенты, затем буквенные части и только после этого собрать подобные слагаемые. Минус перед членом сохраняется как знак произведения. Запись с буквой и скобками следует отличать от умножения уже готовых чисел: пока x не задан, ответ остаётся буквенным выражением.
Инструкция. На задания 1–6 отведи 7 минут, 7–11 — ещё 7 минут, 12–16 — 8 минут. Не смотри в ключ до завершения. Если в условии есть пропуск, запиши весь полученный многочлен, а не только пропущенное число.
Часть для ученика
Исследование 1. Разверни модель
Раскрой скобки и расположи члены по степеням одной буквы, если это удобно. Для выражений с двумя буквами достаточно привести подобные слагаемые.
- Раскрой скобки: 2x(x + 3).
- Раскрой скобки: −3a(2a − 5).
- Раскрой скобки: 4m(3m + 2 − n).
- Раскрой скобки: −2y(y² − 4y + 1).
- Раскрой скобки: 5ab(2a − 3b).
- Раскрой скобки: −x(7x − 2 + 3y).
Исследование 2. Найди пропущенную часть
- Заполни □: 3x(2x + 4) = 6x² + □.
- Заполни □: −2a(a − 6) = −2a² + □.
- Заполни □: 5m(m − 2 + n) = 5m² − □ + 5mn.
- Заполни □: 4xy(x + y) = □ + 4xy².
- Заполни □: −3t(2t + 1 − t²) = −6t² − 3t + □.
Исследование 3. Проверь аргумент
В двух случаях нужно не только исправить неверную запись, но и назвать ошибку. В конце объясни, как можно проверить ответ без повторного раскрытия скобок.
- Ученица написала: 2x(x + 4) = 2x² + 4. Найди и исправь ошибку.
- Ученик получил: −3a(a − 2) = −3a² − 6a. Проверь знак.
- Сравни 2m(m + 5) и 2m² + 10m при m = −2. Совпадают ли значения?
- Составь выражение, которое после раскрытия скобок равно 6x² − 9x, если вынесен общий множитель 3x.
- Заверши объяснение: почему 4a(2a − b + 3) не равно 8a² − 4ab + 3?
Ответы и решения — для учителя и самостоятельной проверки
Проверка по двум направлениям: сначала раскрыть скобки, затем подставить небольшое значение буквы, например 1 или −1, в исходное и преобразованное выражения. Одинаковая подстановка помогает обнаружить ошибку, но одна удачная подстановка сама по себе не доказывает тождество.
- 2x² + 6x. Все слагаемые в скобках умножены на внешний одночлен.
- −6a² + 15a. Все слагаемые в скобках умножены на внешний одночлен.
- 12m² − 4mn + 8m. Все слагаемые в скобках умножены на внешний одночлен.
- −2y³ + 8y² − 2y. Все слагаемые в скобках умножены на внешний одночлен.
- 10a²b − 15ab². Все слагаемые в скобках умножены на внешний одночлен.
- −7x² − 3xy + 2x. Все слагаемые в скобках умножены на внешний одночлен.
- □ = 12x; 3x·4 = 12x.
- □ = 12a; (−2a)·(−6) = 12a.
- □ = 10m; 5m·(−2) = −10m.
- □ = 4x²y; 4xy·x = 4x²y.
- □ = 3t³; (−3t)·(−t²) = 3t³.
- 2x² + 8x; второй член не умножили на 2x.
- −3a² + 6a; произведение двух отрицательных множителей положительно.
- Оба равны −12: 2·(−2)·3 = −12 и 2·4 + 10·(−2) = −12.
- 3x(2x − 3); проверка: 3x·2x − 3x·3 = 6x² − 9x.
- Потерян множитель 4a в третьем слагаемом: правильно 8a² − 4ab + 12a.
При проверке важно не требовать одного-единственного порядка слагаемых. Например, 12m² + 8m − 4mn и 8m − 4mn + 12m² — один и тот же многочлен: слагаемые можно переставить. Однако запись 12m² + 8 − 4mn уже неравносильна исходной, поскольку в среднем слагаемом исчезла буква m.
Самооценка. Отметь отдельно ошибки знака, ошибки степени и пропуски множителя. Для исправления выбери один пример с тем же типом ошибки и проговори вслух каждое произведение перед записью результата.
Для работы с ошибками подготовь короткую устную модель: «наружный множитель на первое, затем на второе, затем на третье». Попроси объяснить различие между −x·(−2) и −x·2; в первом случае получается +2x, во втором −2x. Это позволяет проверить не только правильность ответа, но и понимание знаков.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.