Выделение общего множителя у многочлена: самостоятельная работа для 7 класса
7 класс · Алгебра · Материал для распечатки
Короткая диагностическая самостоятельная работа на вынесение общего множителя за скобки.
Содержание статьи6 разделов
Практический сюжет: комплекты деталей
В школьной мастерской готовят наборы деталей: 6 одинаковых пакетов содержат по x красных деталей и по 2 синие. Общее количество — 6x + 12. Удобнее увидеть число пакетов: 6(x + 2). Так в математике «выносят общий множитель за скобки»: находят то, что повторяется у всех слагаемых.
У многочленов общий множитель бывает числовым и буквенным. Например, 12a² − 18a = 6a(2a − 3): число 6 делит оба коэффициента, а буква a встречается в каждом слагаемом. Проверка обязательна — раскрой полученные скобки и сравни исходное выражение. Стремись вынести наибольший общий одночленный множитель с положительным числовым коэффициентом, если не указано иное.
Ситуация, в которой приём действительно полезен: 14 одинаковых заказов по x тетрадей и 3 карандаша можно записать как 14x + 42 предмета или 14(x + 3). Вторая запись показывает состав одного заказа, первая — суммарное количество предметов по видам. Обе формы нужны: первая удобна для подсчёта, вторая для объяснения общей структуры.
Часть для ученика
Задания 1–6. Найди повторяющуюся часть
Вынеси общий одночленный множитель. Устно ответь: почему он действительно делит оба слагаемых? Образец проверки: 4x(2x + 3) = 8x² + 12x.
- Разложи на множители: 6x + 12.
- Разложи на множители: 9a − 15.
- Разложи на множители: 8m² + 12m.
- Разложи на множители: 14xy − 21x.
- Разложи на множители: 5a²b + 10ab².
- Разложи на множители: −6t + 18.
Задания 7–10. Перенеси навык на степени
У буквенного множителя бери наименьшую степень, встречающуюся у обоих слагаемых. Например, у x³ и x² общим множителем будет x², но не x³.
- Вынеси максимальный общий одночлен: 12p² − 18p.
- Вынеси максимальный общий одночлен: 16x³ + 24x².
- Вынеси максимальный общий одночлен: 4k² − 4k.
- Вынеси максимальный общий одночлен: 10u²v − 15uv².
Задания 11–14. Диагностика и применение
- Заполни пропуск: 8x + □ = 4(2x + 5).
- Восстанови двучлен: 15ab − 10a = 5a(□).
- Упрости 12y² + 18y вынесением общего множителя и затем найди значение при y = 2.
- Формула расхода 6x² − 9x измеряется в условных единицах. Вынеси общий множитель и вычисли при x = 3.
Проверка: разверни скобки в каждом полученном ответе. Если исходный многочлен не восстановился, ошибка допущена либо при делении коэффициентов, либо при работе со степенями, либо со знаком минус.
Ответы и решения — для учителя и самостоятельной проверки
- 6x + 12 = 6(x + 2); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 9a − 15 = 3(3a − 5); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 8m² + 12m = 4m(2m + 3); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 14xy − 21x = 7x(2y − 3); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 5a²b + 10ab² = 5ab(a + 2b); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- −6t + 18 = 6(3 − t); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 12p² − 18p = 6p(2p − 3); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 16x³ + 24x² = 8x²(2x + 3); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 4k² − 4k = 4k(k − 1); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 10u²v − 15uv² = 5uv(2u − 3v); проверка: раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.
- 20; 4(2x + 5) = 8x + 20.
- 3b − 2; 5a(3b − 2) = 15ab − 10a.
- 6y(2y + 3); при y = 2 получаем 12·7 = 84.
- 3x(2x − 3); при x = 3 получаем 9·3 = 27.
Оценка результата: 1–6 — базовый уровень, 7–10 — работа со степенями, 11–14 — перенос навыка. Ошибка только в заданиях 7–10 означает, что стоит повторить правило степеней: при делении одинаковых оснований показатели вычитаются. Ошибка в № 11 или № 12 обычно связана с обратным распределительным свойством.
В № 5 стоит заметить, что общий множитель включает сразу две буквы: a и b. В № 8 степени различаются на один, поэтому после вынесения x² в скобке остаётся x в первом слагаемом. Для № 6 полезно провести контроль знака: 6(3 − t) = 18 − 6t, а не 18 + 6t. При затруднении попроси ученика сначала найти наибольший общий делитель числовых коэффициентов, а затем отдельно определить общий буквенный множитель.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.