Разбор типичных ошибок: вертикальные углы в задачах с чертежом — 7 класс

Разбор ошибок с чертежом • 22 задания • 7 класс Фамилия и имя: ____________________________ Класс: ______ Дата: __________

Сначала разберитесь в рисунке

Проведите две пересекающиеся прямые AC и BD. Они пересекаются в точке O, причём A и C лежат по разные стороны от O, а B и D — по разные стороны от O. Для всех заданий ниже предполагается именно эта схема, а не произвольное расположение подписей. На чертеже удобно выделить четыре угла AOB, BOC, COD и DOA.

Правило: вертикальные углы образованы противоположными лучами и равны. Вертикальные пары здесь: AOB и COD; BOC и DOA. Два соседних угла при пересечении прямых — смежные, и сумма их мер равна 180°.

Два разобранных примера

Пример 1. Если ∠AOB = 47°, то ∠COD = 47°, так как стороны каждой пары вертикальных углов лежат на одних прямых и направлены противоположно. Не нужно вычитать из 180°: это было бы действие для смежных углов.

Пример 2. Если ∠AOB = 47°, то ∠BOC = 133°, поскольку ∠AOB + ∠BOC = 180°. Важно проверить, что общая сторона — OB, а лучи OA и OC противоположны.

Часть I. Уверенно различаем пары

В заданиях 1–6 записывайте не только число, но и слово «вертикальные» либо «смежные». Не перенумеровывайте вершины: порядок букв определяет, какой именно угол назван.

1. ∠AOB = 38°. Чему равен ∠COD?
2. ∠AOB = 112°. Определите ∠BOC.
3. ∠BOC = 27°. Найдите ∠DOA.
4. ∠COD = 89°. Чему равен ∠AOB?
5. ∠DOA = 140°. Вычислите ∠BOC.
6. ∠AOB = 71°. Найдите ∠DOA.

Часть II. Формулы с неизвестным

Составьте одно уравнение на каждый номер 7–8. Выберите между равенством углов и суммой 180°; именно этот выбор здесь проверяется.

7. ∠BOC = 2x + 20°, ∠COD = x + 10°. Найдите x и оба угла.
8. ∠AOB = 4x − 8°, ∠COD = 2x + 30°. Найдите x.

Часть III. Найдите и объясните ошибку

Номера 9–13 — диагностические. За ответ без короткого объяснения балл не ставится: нельзя угадать правильную цифру и оставить неверное правило.

9. Дима утверждает: «Два угла по 59°, расположенные рядом на прямой, могут быть смежными». Исправьте.
10. Нина подписала ∠AOB = 70°, ∠COD = 110°. Какая запись ошибочна?
11. Ученик назвал ∠AOB и ∠BOC вертикальными. Чем эти углы являются на самом деле?
12. Ученик пишет: «Два равных угла в любом рисунке обязательно вертикальные». Верно ли?
13. Какова величина ∠AOC? Укажите, почему её не надо вычислять по соседним углам.

Часть IV. Самостоятельный тренажёр

Работайте без подсказки. Для задач с переменной проверяйте, что получаются допустимые углы: больше 0° и меньше 180°. Если ответ невозможен, перепроверьте распознавание пары.

14. ∠AOB = 135°. Найдите ∠BOC и ∠COD.
15. Сумма двух вертикальных углов ∠BOC и ∠DOA равна 100°. Найдите каждый.
16. Сумма ∠AOB и ∠COD равна 146°. Найдите оба угла.
17. ∠AOB = 3x + 4°, ∠COD = 5x − 22°. Найдите x и угол AOB.
18. ∠AOB = 2x + 18°, ∠BOC = 3x − 8°. Найдите x и оба угла.
19. Назовите вертикальную пару для ∠BOC.
20. ∠AOB = 117°. Найдите ∠AOD.
21. ∠BOC = 64°. Найдите ∠AOD.
22. ∠COD = 104°. Найдите ∠AOD.

Три распространённые ловушки

• Поворот чертежа не меняет вертикальные пары: важны противоположные лучи, а не то, где рисунок расположен на листе.
• Вершина у вертикальных углов общая, но общей стороны нет. Если у пары общая сторона — это не вертикальная пара.
• Прежде чем писать уравнение, подпишите, какие стороны образуют угол. Равенство «вертикальные углы равны» и правило «смежные в сумме 180°» нельзя менять местами.

Для урока: номера 1–6 выявляют узнавание пар, 7–8 и 17–18 — умение составлять уравнения, 9–13 — умение объяснять, 14–16 и 19–22 — перенос навыка. После проверки предложите ученику самостоятельно построить две пересекающиеся прямые, подписать вершины и назвать обе вертикальные пары без подсказки.

Памятка по работе с чертежом

Если на рисунке четыре луча и непонятно, какие углы вертикальные, начните не с градусов, а с прямых. Найдите пары противоположных лучей: OA и OC составляют одну прямую; OB и OD — другую. Угол AOB имеет стороны OA и OB. Чтобы получить вертикальный к нему, замените каждую сторону противоположной: OA заменится на OC, а OB — на OD. Значит, искомая пара — COD. Такой алгоритм не зависит от поворота тетради и от направления подписей на фотографии.

Чтобы получить смежный угол к AOB, сохраните одну сторону, например OB, и замените другую OA противоположным лучом OC. Получится BOC. Именно поэтому его величина дополняет AOB до 180°. Если вместо этого заменить обе стороны, получится вертикальный COD, а не смежный. Путаница между заменой одной и обеих сторон порождает большинство ошибок в этой теме.

Как объяснить исправление, не ссылаясь на внешний вид

В задании 10 неверная подпись 70° и 110° для противоположных углов может показаться правдоподобной, если чертёж сделан неаккуратно. Но рисунок не измерительный прибор. После установления вертикальной пары обе меры обязаны совпадать. Если ∠AOB = 70°, то ∠COD = 70°, а два смежных равны по 110°. Поэтому числа 70° и 110° возможны одновременно на одном пересечении, но они относятся к соседним, а не к вертикальным углам.

В задании 12 равенство углов ещё не определяет их взаимное положение. Например, два угла по 30° с разными вершинами равны, но вертикальными не являются. Необходимо совпадение вершины и противоположность соответствующих лучей. Это хороший устный вопрос: ученик должен объяснить, что геометрическое отношение и числовое равенство не одно и то же.

Мини-разбор уравнений из тренажёра

Номер 17: 3x + 4 = 5x − 22, поскольку записаны вертикальные углы. После переноса получаем 26 = 2x и x = 13. Проверяем: 3 · 13 + 4 = 43 и 5 · 13 − 22 = 43. Если ученик вместо равенства составил сумму 180°, он перепутал вертикальные и смежные.

Номер 18: здесь AOB и BOC стоят рядом. Их сумма равна 180°: 2x + 18 + 3x − 8 = 180. Значит, 5x + 10 = 180, x = 34. Углы равны 86° и 94°. Подставьте их в рисунок: вертикальная к AOB также 86°, а вертикальная к BOC 94°. Все четыре угла вместе дают 360°, что служит дополнительной проверкой.

Учителю удобно попросить устно назвать две вертикальные пары после каждой ошибки. Это занимает меньше минуты и проверяет понимание быстрее, чем дополнительный десяток вычислений. Родителю при домашней проверке полезно разрешить ребёнку поворачивать лист: структура противоположных лучей не меняется, а зависимость от привычного положения рисунка исчезает.