Тренажёр для 7 класса — сумма углов треугольника в составных задачах

Прикладной тренажёр • 22 составных и проверочных задания Фамилия и имя: ____________________________ Класс: ______ Дата: __________

Ситуация: можно ли доверять эскизу?

В мастерской готовят чертёж треугольной конструкции. Одни градусы подписаны внутри фигуры, другие — снаружи. Для расчёта нужен не вид рисунка, а строгая математическая модель. Для любого треугольника ABC выполняется ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Внешний угол, смежный с внутренним при вершине, равен 180° минус внутренний угол; он также равен сумме двух удалённых внутренних углов.

Рисунок может быть условным и не в масштабе. Если дано, что треугольник равнобедренный, у него равны углы при основании. Если дана биссектриса, она делит указанный угол пополам; но не делит пополам остальные углы автоматически.

Две модели перед началом

Модель 1 — внутренние углы. При ∠A = 57° и ∠B = 61° получаем ∠C = 180° − 57° − 61° = 62°. Контроль: сумма снова 180°.

Модель 2 — внешний угол. Если внешний угол при C равен 132°, то внутренний ∠C = 48°. Если при этом ∠A = 53°, то ∠B = 132° − 53° = 79°. Это тот же результат, что 180° − 48° − 53°.

Блок А. От ситуации к формуле

Номера 1–6 проверяют, умеете ли вы выбрать нужное правило. В частности, когда угол внешний, нельзя включать его в сумму внутренних 180° вместо угла при самой вершине.

1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий.
2. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 28°. Найдите другой острый.
3. Равнобедренный треугольник имеет угол при вершине 40°. Найдите каждый угол при основании.
4. Внешний угол при вершине C равен 125°, один удалённый внутренний ∠A = 55°. Найдите ∠B.
5. Внешний угол при C равен 140°, удалённый внутренний ∠A = 65°. Найдите ∠B.
6. Внешний угол при B равен 117°. Найдите внутренний ∠B.

Блок Б. Переменные, отношение и биссектриса

В задачах 7–15 сначала выпишите равенство или отношение, затем составьте уравнение. Если получились дробные градусы, это не обязательно ошибка. Вы можете пользоваться черновым рисунком и обозначением x, но каждое найденное значение надо проверить по условию.

7. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите их.
8. Углы треугольника равны x°, x + 20° и 2x°. Вычислите x и все углы.
9. Три угла равны 3x°, x° и 2x°. Найдите их величины.
10. Угол B вдвое больше A, угол C втрое больше A. Вычислите углы.
11. ∠A = 45°, внешний угол при B равен 118°. Найдите ∠B и ∠C.
12. ∠C = 75°, углы A и B равны. Найдите каждый из них.
13. ∠A = 68°, биссектриса угла B делит его на две части по 26°. Чему равен ∠C?
14. ∠A = 35°, ∠B = 75°. Найдите внешний угол при C.
15. Один внутренний угол треугольника равен 120°. Найдите сумму двух остальных.

Блок В. Перенос на составные конструкции

Номера 16–18 связаны с внешними углами, фронтоном крыши и треугольной фермой. Любая практическая история переводится в набор равенств; специальные знания о строительстве не требуются.

16. Внешний угол при A равен 130°, а внешний при B — 110°. Найдите внутренний угол C.
17. В модели двускатной крыши треугольный фронтон равнобедренный, верхний угол 84°. Найдите углы при основании.
18. В треугольной ферме ∠C = 90°, ∠A на 18° больше ∠B. Найдите A и B.

Финальная проверка достоверности

В номерах 19–22 подумайте, какие данные совместимы с геометрией треугольника. Неподходящий набор углов нельзя «подогнать» округлением. Покажите вычисление и сформулируйте причину.

19. Проверьте, могут ли три угла одного треугольника быть 38°, 59°, 83°.
20. Проверьте данные 38°, 69°, 75°. Возможен ли такой треугольник?
21. Углы заданы формулами x + 15°, x + 35° и 2x + 10°. Найдите x и три угла.
22. Внешний угол при C равен 136°, а внутренний ∠A = 48°. Найдите ∠B и ∠C.

Проверка перед тем, как смотреть ответы

• Складывайте только три внутренних угла. Внешний предварительно переведите во внутренний или воспользуйтесь теоремой о внешнем угле.
• Для равнобедренного треугольника два угла при основании равны. Не считайте равным углу при основании угол при вершине без отдельного условия.
• Если в задаче задана разность или отношение углов, переводите слова в уравнение, а не выбирайте значения «на глаз».
• В каждом ответе должно выполняться 0° < угол < 180°. Сумма трёх внутренних — ровно 180°.

Разбор типичных неверных ходов: (1) если внешний угол при C равен 140°, внутренний не равен 140°, а равен 40°; (2) при равнобедренном треугольнике нужно указать, какие стороны равны и где находится вершина; (3) набор с суммой 182° невозможен, даже если рисунок похож на треугольник. На повторном занятии можно предложить ученику придумать собственные углы с суммой 180° и затем изменить один на 3° — получится пример некорректных данных.

Как выбрать модель для составной задачи

Если задача содержит только три внутренних угла, начните с суммы 180°. Если появляется внешний угол, нарисуйте продолжение одной стороны треугольника, обозначьте внешний и внутренний у вершины как смежные. В задаче с равнобедренным треугольником обязательно покажите равные углы при основании. А если в условии встречается биссектриса, сначала восстановите целый угол по двум равным частям: это отдельное действие перед применением суммы.

В номере 16 внешний при A равен 130°, значит, внутренний A — 50°. Внешний при B равен 110°, значит, внутренний B — 70°. Только после этого вычисляют C = 180° − 50° − 70° = 60°. Ошибка «130 + 110» возникает тогда, когда ученик складывает внешние углы как внутренние, не разобравшись с рисунком.

Номер 18 удобен для составления уравнения. Поскольку C = 90°, два других угла в сумме дают 90°. Пусть B = x°, тогда A = x + 18°. Имеем 2x + 18 = 90, откуда x = 36. Значит, угол A = 54°, а проверка 54 + 36 + 90 = 180 подтверждает оба условия. Эта модель полезнее, чем метод случайного подбора пары углов с разностью 18°.