Длина окружности через число пи — упражнения для печати, 6 класс

Мини-тест по геометрии для 6 класса. Длина окружности — расстояние по её границе. Используйте формулы C = 2πr и C = πd, где r — радиус, d — диаметр. Для всех численных расчётов ниже договоримся брать π ≈ 3,14; поэтому ответы являются приближёнными. Ключ находится после полного блока заданий.

Алгоритм: 1) определите, известен радиус или диаметр; 2) выберите одну формулу; 3) подставьте число, не забыв единицу длины; 4) оцените разумность результата. При удвоении диаметра длина тоже удваивается — это удобная проверка без пересчёта.

Мини-тест: 10 вопросов от формулы к выводу

1. Радиус окружности 2 см. Найдите длину окружности.
2. Диаметр окружности 7 см. Найдите её длину.
3. Радиус 5 м. Вычислите длину окружности.
4. Диаметр 12 см. Какова длина окружности?
5. Радиус 1,5 дм. Найдите длину.
6. Диаметр 0,8 м. Найдите длину.
7. Радиус 9 см. Сколько сантиметров составляет длина?
8. Диаметр 25 мм. Вычислите длину.
9. Два обруча имеют диаметры 10 см и 20 см. Во сколько раз длина второго больше длины первого?
10. Радиус уменьшили с 6 см до 3 см. Во сколько раз уменьшилась длина окружности?

Не перепутайте длину окружности и площадь круга: для длины нет квадратных единиц. Если задача просит путь колеса за один оборот, это одна длина окружности при условии отсутствия проскальзывания.

Дополнительные упражнения: 8 прикладных ситуаций

1. Длина окружности приблизительно 31,4 см. Найдите диаметр.
2. Длина окружности приблизительно 18,84 м. Найдите радиус.
3. У колеса диаметр 0,5 м. Какой путь оно пройдёт за один оборот без проскальзывания?
4. То же колесо сделало 6 полных оборотов. Найдите путь.
5. На круглую клумбу радиуса 4 м натянули ленточное ограждение по контуру. Сколько метров ленты нужно без запаса?
6. Два круглых коврика имеют радиусы 2 дм и 6 дм. Найдите разность их длин по краю.
7. Найдите длину полуокружности радиуса 7 см, не включая диаметр.
8. Верно ли, что окружность диаметра 14 см длиннее окружности радиуса 6 см на 6,28 см? Подтвердите расчётом.

Разбор каждого ответа мини-теста

1. 12,56 см. Проверка: 2 × 3,14 × 2 = 12,56.
2. 21,98 см. Проверка: 3,14 × 7 = 21,98.
3. 31,4 м. Проверка: 2 × 3,14 × 5 = 31,4.
4. 37,68 см. Проверка: 3,14 × 12 = 37,68.
5. 9,42 дм. Проверка: 2 × 3,14 × 1,5 = 9,42.
6. 2,51 м. Проверка: 3,14 × 0,8 = 2,51.
7. 56,52 см. Проверка: 2 × 3,14 × 9 = 56,52.
8. 78,5 мм. Проверка: 3,14 × 25 = 78,5.
9. 2 раза. Проверка: (3,14 × 20) : (3,14 × 10) = 2.
10. 2 раза. Проверка: (2 × 3,14 × 6) : (2 × 3,14 × 3) = 2.

Ключ к дополнительной серии

1. 10 см. 31,4 : 3,14 = 10 см.
2. 3 м. 18,84 : (2 × 3,14) = 3 м.
3. 1,57 м. 3,14 × 0,5 = 1,57 м.
4. 9,42 м. 3,14 × 0,5 × 6 = 9,42 м.
5. 25,12 м. 2 × 3,14 × 4 = 25,12 м.
6. 25,12 дм. 2 × 3,14 × (6 − 2) = 25,12 дм.
7. 21,98 см. 3,14 × 7 = 21,98 см.
8. Да. 3,14 × 14 − 2 × 3,14 × 6 = 6,28 см.

Проверка обратным действием: если найден диаметр d по известной длине C, подставьте d назад в 3,14 × d и убедитесь, что исходное значение восстанавливается. Для радиуса аналогично используйте C = 6,28 × r. Не округляйте промежуточные значения произвольно: здесь π зафиксировано как 3,14.

Критерий: 1 балл за математическую модель, 1 балл за вычисление и правильные единицы там, где они нужны. Всего 18 заданий, максимум 36 баллов. При подготовке к контрольной отдельно повторите различие между радиусом (от центра до окружности) и диаметром (через центр от края до края): d = 2r.

Распечатка: ученик выполняет сначала мини-тест без подсказок, учитель предлагает дополнительную серию на закрепление. Для заданий 9–10 ответ должен содержать именно слово «раза», а не единицы длины: речь идёт об отношении величин.

Почему две формулы дают одну длину

Поскольку диаметр состоит из двух радиусов, d = 2r. Подставив это равенство в C = πd, получим C = π·2r = 2πr. Это не разные правила для разных окружностей, а две формы одного и того же отношения. Если дан диаметр, нет необходимости сначала делить его пополам: проще сразу умножить d на π. Если указан радиус, удвойте его и затем умножьте на π.

При проверке измерений полезно сравнить длину окружности с диаметром: длина немного больше трёх диаметров. Например, при d = 10 см длина около 31,4 см. Если кто-то получил 3,14 см, возможно, он потерял множитель 10; если 314 см, вероятна ошибка в разряде числа. Такой быстрый контроль не заменяет вычисление, но помогает заметить явно невозможный ответ.

Модель для домашнего опыта

Возьмите круглую крышку, обведите её на бумаге и измерьте диаметр линейкой. Затем, если есть мягкая нить, уложите её вдоль границы крышки, распрямите и измерьте длину нити. Отношение длины границы к диаметру должно получиться близким к 3,14; результат может немного отличаться из-за неточности измерений. Этот опыт показывает происхождение множителя π на понятном бытовом предмете.

При переводе единиц сначала решите, в каких единицах нужен ответ. Если диаметр колеса задан в сантиметрах, а путь требуется в метрах, можно сначала найти длину в сантиметрах и разделить её на 100. При нескольких оборотах умножьте длину одного оборота на их количество. Не путайте один оборот и половину оборота: путь за половину оборота равен половине длины окружности только при отсутствии проскальзывания.