Уравнения на встречное движение — упражнения для печати, 7 класс

Три варианта для самостоятельной работы в 7 классе. В каждой задаче два участника начинают движение навстречу друг другу одновременно, скорость постоянна, расстояние между стартовыми точками известно. На листе ученика нет готовых уравнений: их нужно составить самостоятельно. Ключи для проверки идут после всех вариантов.

Памятка перед началом

Если до встречи прошло t часов, первый участник прошёл v₁·t км, а второй — v₂·t км. Вместе они покрыли начальное расстояние S, поэтому v₁·t + v₂·t = S. Сначала укажите, какую величину обозначает x и в каких единицах она измеряется. Формулу можно использовать лишь после того, как по смыслу ясно, почему расстояния складываются.

Образец: два велосипедиста выехали навстречу друг другу из точек на расстоянии 90 км со скоростями 20 и 25 км/ч. Получаем 20x + 25x = 90, 45x = 90, x = 2 ч. Проверка: 40 + 50 = 90 км.

Вариант 1 — базовый уровень

Фамилия и имя: __________________________ Дата: __________. Для каждого пункта запишите: неизвестное → уравнение → ответ с единицей → проверку обратной подстановкой.

1. 1. Между пунктами А и Б расстояние 252 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 58 и 68 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.
2. 2. Между двумя станциями расстояние 294 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 70 и 77 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.
3. 3. Из двух пунктов на расстоянии 270 км одновременно навстречу выехали два автомобиля. Первый ехал со скоростью 54 км/ч, второй — x км/ч. Встреча состоялась через 3 ч. Найдите x с помощью уравнения.
4. 4. Из населённых пунктов, расположенных на расстоянии 214 км, одновременно выехали навстречу два автомобиля. Скорость первого — x км/ч, второго — 47 км/ч. До встречи прошло 2 ч. Чему равна скорость первого?
5. 5. Между складами на прямой дороге расстояние 320 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 75 и 85 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.

После первого варианта проверьте размерность: складывают километры с километрами, а не скорость с расстоянием. При записи 58x величина x выражена в часах, поэтому 58x — путь в километрах.

Вариант 2 — уверенное решение

Фамилия и имя: __________________________ Дата: __________. Для каждого пункта запишите: неизвестное → уравнение → ответ с единицей → проверку обратной подстановкой.

1. 1. Между пунктами А и Б расстояние 264 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 64 и 68 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.
2. 2. Между двумя станциями расстояние 285 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 52 и 43 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.
3. 3. Из двух пунктов на расстоянии 368 км одновременно навстречу выехали два автомобиля. Первый ехал со скоростью 48 км/ч, второй — x км/ч. Встреча состоялась через 4 ч. Найдите x с помощью уравнения.
4. 4. Из населённых пунктов, расположенных на расстоянии 225 км, одновременно выехали навстречу два автомобиля. Скорость первого — x км/ч, второго — 35 км/ч. До встречи прошло 3 ч. Чему равна скорость первого?
5. 5. Между складами на прямой дороге расстояние 238 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 56 и 63 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.

При поиске неизвестной скорости сначала вычтите путь известного участника из общего расстояния, затем разделите остаток на число часов. Ответ в км/ч обязательно должен быть положительным.

Вариант 3 — проверка переноса модели

Фамилия и имя: __________________________ Дата: __________. Для каждого пункта запишите: неизвестное → уравнение → ответ с единицей → проверку обратной подстановкой.

1. 1. Между пунктами А и Б расстояние 312 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 72 и 84 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.
2. 2. Между двумя станциями расстояние 360 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 55 и 65 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.
3. 3. Из двух пунктов на расстоянии 420 км одновременно навстречу выехали два автомобиля. Первый ехал со скоростью 58 км/ч, второй — x км/ч. Встреча состоялась через 4 ч. Найдите x с помощью уравнения.
4. 4. Из населённых пунктов, расположенных на расстоянии 346 км, одновременно выехали навстречу два автомобиля. Скорость первого — x км/ч, второго — 83 км/ч. До встречи прошло 2 ч. Чему равна скорость первого?
5. 5. Между складами на прямой дороге расстояние 248 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два участника со скоростями 63 и 61 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Составьте уравнение для x.

Ключи и решения — для учителя и самопроверки

Рекомендуется распечатывать ученическую часть до этого заголовка; при выдаче полного листа закрывайте ключ бумажной полоской. Ученик проверяет не только число, но и исходное уравнение.

1. Вариант 1, № 1: (58+68)x=252; x=2 ч. Проверка: 116+136=252 км.
2. Вариант 1, № 2: (70+77)x=294; x=2 ч. Проверка: 140+154=294 км.
3. Вариант 1, № 3: 3·54+3x=270; 3x=108; x=36 км/ч. Проверка: 162+108=270 км.
4. Вариант 1, № 4: 2x+2·47=214; 2x=120; x=60 км/ч. Проверка: 120+94=214 км.
5. Вариант 1, № 5: (75+85)x=320; x=2 ч. Проверка: 150+170=320 км.
6. Вариант 2, № 1: (64+68)x=264; x=2 ч. Проверка: 128+136=264 км.
7. Вариант 2, № 2: (52+43)x=285; x=3 ч. Проверка: 156+129=285 км.
8. Вариант 2, № 3: 4·48+4x=368; 4x=176; x=44 км/ч. Проверка: 192+176=368 км.
9. Вариант 2, № 4: 3x+3·35=225; 3x=120; x=40 км/ч. Проверка: 120+105=225 км.
10. Вариант 2, № 5: (56+63)x=238; x=2 ч. Проверка: 112+126=238 км.
11. Вариант 3, № 1: (72+84)x=312; x=2 ч. Проверка: 144+168=312 км.
12. Вариант 3, № 2: (55+65)x=360; x=3 ч. Проверка: 165+195=360 км.
13. Вариант 3, № 3: 4·58+4x=420; 4x=188; x=47 км/ч. Проверка: 232+188=420 км.
14. Вариант 3, № 4: 2x+2·83=346; 2x=180; x=90 км/ч. Проверка: 180+166=346 км.
15. Вариант 3, № 5: (63+61)x=248; x=2 ч. Проверка: 126+122=248 км.

Критерии самопроверки

За каждый пункт: 1 балл за выбор неизвестного и уравнение, 1 балл за решение, 1 балл за подстановку и единицу измерения. Максимум 15 баллов за вариант. Неверный ответ при правильной модели указывает на вычислительную ошибку; неверная модель — повод повторить смысл скорости сближения.

Диагностика: если ученик складывает скорости, но не умеет объяснить почему, предложите нарисовать два отрезка пути, которые составляют всё расстояние. Если вместо суммы путей получается их разность, уточните направление движения. При одновременном встречном движении расстояния, пройденные до встречи, именно складываются.