Тренажёр для 7 класса — уравнения на изменение периметра прямоугольника

Тренажёр на переход от геометрического условия к уравнению. Во всех задачах рассматриваются прямоугольники с положительными длинами сторон; стороны и их изменения заданы в сантиметрах. Важно различать изменение одной стороны и изменение периметра: если сторона увеличилась на 3 см, периметр увеличится на 6 см при неизменной второй стороне.

От смысла к модели: пять вопросов

Основная формула P = 2(a + b). Когда длину увеличивают на p, а ширину на q, новый периметр равен 2((a + p) + (b + q)). Разность нового и старого периметра составляет 2(p + q). Если размеры уменьшают, используйте отрицательные изменения и обязательно убедитесь, что новые стороны положительны.

1. № 1. На сколько изменится периметр прямоугольника, если удлинить одну сторону на 4 см, а вторую не менять?
2. № 2. Одна сторона увеличилась на 2 см, другая — на 5 см. На сколько изменился периметр?
3. № 3. Длина уменьшилась на 3 см, ширина увеличилась на 3 см. Что произойдёт с периметром?
4. № 4. Периметр вырос на 14 см, ширина не изменилась. На сколько увеличилась длина?
5. № 5. Верно ли, что удвоение обеих сторон удваивает периметр? Объясните формулой.

Найди исходную сторону — уравнения для самостоятельного решения

Обозначьте неизвестную сторону буквой x. Запишите новый периметр через x, затем найдите его значение. В ответе дополнительно проверьте новый периметр прямым вычислением.

1. № 6. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 7 см. Длину увеличили на 3 см, ширину увеличили на 2 см. Новый периметр равен 44 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
2. № 7. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 5 см. Длину увеличили на 4 см, ширину уменьшили на 1 см. Новый периметр равен 32 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
3. № 8. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 6 см. Длину уменьшили на 3 см, ширину увеличили на 2 см. Новый периметр равен 40 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
4. № 9. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 9 см. Длину увеличили на 5 см, ширину не изменяли. Новый периметр равен 52 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
5. № 10. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 11 см. Длину уменьшили на 2 см, ширину уменьшили на 1 см. Новый периметр равен 34 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
6. № 11. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 8 см. Длину увеличили на 2 см, ширину увеличили на 3 см. Новый периметр равен 54 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
7. № 12. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 12 см. Длину увеличили на 1 см, ширину уменьшили на 4 см. Новый периметр равен 32 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
8. № 13. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 5 см. Длину уменьшили на 5 см, ширину увеличили на 3 см. Новый периметр равен 38 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
9. № 14. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 14 см. Длину увеличили на 6 см, ширину уменьшили на 2 см. Новый периметр равен 58 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
10. № 15. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 7 см. Длину уменьшили на 4 см, ширину увеличили на 4 см. Новый периметр равен 50 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
11. № 16. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 10 см. Длину не изменяли, ширину уменьшили на 3 см. Новый периметр равен 40 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.
12. № 17. Первоначальная длина прямоугольника равна x см, ширина — 8 см. Длину уменьшили на 6 см, ширину увеличили на 1 см. Новый периметр равен 46 см. Составьте уравнение и найдите первоначальную длину.

Важная ловушка: уменьшение на 3 см записывают как x − 3, а не 3 − x. Сравните результаты с исходными данными: новая длина не может оказаться отрицательной. И ещё: если известен периметр, для суммы соседних сторон используйте P/2, а не P/4.

Два задания на объяснение и проверку метода

1. № 18. Исходный периметр прямоугольника 46 см. Длину увеличили на x см, ширину уменьшили на 2 см, после чего периметр стал 54 см. Найдите x и объясните, почему неизвестен не весь новый периметр, а только его изменение.
2. № 19. После увеличения длины на 3 см и ширины на x см периметр вырос на 18 см. Составьте уравнение для x и проверьте ответ на примере прямоугольника 8 см на 5 см.

Ответы, раскрытие скобок и самоконтроль

Сначала сверяйте выражение для нового периметра, потом окончательное число. Если правильная формула составлена, но ошибка появилась при вычислении, повторите только линейное уравнение, не решая всю задачу заново.

1. № 1. На 8 см: ΔP=2·4.
2. № 2. На 14 см: ΔP=2·(2+5).
3. № 3. Не изменился: ΔP=2·(−3+3)=0; при условии, что новая длина остаётся положительной.
4. № 4. На 7 см: 2x=14, x=7.
5. № 5. Да, 2(2a+2b)=2·[2(a+b)]=2P.
6. № 6. 2·((x+(3))+(7+(2)))=44; x=10 см. Проверка: новые стороны 13 и 9 см, их периметр 2·(13+9)=44 см.
7. № 7. 2·((x+(4))+(5+(-1)))=32; x=8 см. Проверка: новые стороны 12 и 4 см, их периметр 2·(12+4)=32 см.
8. № 8. 2·((x+(-3))+(6+(2)))=40; x=15 см. Проверка: новые стороны 12 и 8 см, их периметр 2·(12+8)=40 см.
9. № 9. 2·((x+(5))+(9+(0)))=52; x=12 см. Проверка: новые стороны 17 и 9 см, их периметр 2·(17+9)=52 см.
10. № 10. 2·((x+(-2))+(11+(-1)))=34; x=9 см. Проверка: новые стороны 7 и 10 см, их периметр 2·(7+10)=34 см.
11. № 11. 2·((x+(2))+(8+(3)))=54; x=14 см. Проверка: новые стороны 16 и 11 см, их периметр 2·(16+11)=54 см.
12. № 12. 2·((x+(1))+(12+(-4)))=32; x=7 см. Проверка: новые стороны 8 и 8 см, их периметр 2·(8+8)=32 см.
13. № 13. 2·((x+(-5))+(5+(3)))=38; x=16 см. Проверка: новые стороны 11 и 8 см, их периметр 2·(11+8)=38 см.
14. № 14. 2·((x+(6))+(14+(-2)))=58; x=11 см. Проверка: новые стороны 17 и 12 см, их периметр 2·(17+12)=58 см.
15. № 15. 2·((x+(-4))+(7+(4)))=50; x=18 см. Проверка: новые стороны 14 и 11 см, их периметр 2·(14+11)=50 см.
16. № 16. 2·((x+(0))+(10+(-3)))=40; x=13 см. Проверка: новые стороны 13 и 7 см, их периметр 2·(13+7)=40 см.
17. № 17. 2·((x+(-6))+(8+(1)))=46; x=20 см. Проверка: новые стороны 14 и 9 см, их периметр 2·(14+9)=46 см.
18. № 18. 46+2(x−2)=54, 2x−4=8, x=6 см. Контроль: изменение периметра 2·(6−2)=8 см.
19. № 19. 2(3+x)=18, x=6 см. Контроль: исходный периметр 2(8+5)=26 см, новый 2(11+11)=44 см; прирост 18 см.

Критерий: 1 балл за модель, 1 за решение, 1 за обратную проверку. Для вопросов 1–5 допускается короткое устное обоснование. Итоговый уровень: 16–19 выполненных верно — навык устойчивый; 12–15 — повторите изменения со знаком минус; меньше 12 — вернитесь к рисунку прямоугольника и формуле периметра.

Почему формула работает при отрицательных изменениях

В записи ΔP = 2(Δa + Δb) положительный знак обозначает увеличение соответствующей стороны, отрицательный — уменьшение. Например, когда длина выросла на 5 см, а ширина уменьшилась на 2 см, периметр вырос на 2·(5−2) = 6 см. Но это верно только для прямоугольника, у которого новая ширина осталась положительной. В реальной задаче невозможно уменьшить сторону длиной 1 см на 2 см.

Если ученик заменяет условие «ширина уменьшилась на 2» выражением «2 − ширина», попросите его выбрать конкретную исходную ширину, например 8 см. После уменьшения она станет 6 см, то есть 8 − 2, а не 2 − 8. Сверка с конкретной фигурой часто полезнее повторного заучивания правила о скобках.