Пошаговый практикум: модели задач на последовательные целые числа — 7 класс

Парный практикум: у каждого ученика своя карточка на семь заданий, затем партнёры обмениваются решениями и проверяют модель. Тема — именно последовательные целые числа, а не натуральные: ноль и отрицательные значения тоже разрешены. Трудность не в сложных вычислениях, а в переводе слов «соседние целые» в выражения с x.

Шаг первый: назови числа правильно

Если первое число x, следующее x + 1, потом x + 2 и так далее. Для четырёх соседних целых подходят x, x + 1, x + 2, x + 3. Запись x, 2x, 3x описывает кратные числа, а не соседние. Пример: сумма трёх соседних равна 18. x + (x + 1) + (x + 2) = 18, 3x + 3 = 18, x = 5. Числа 5, 6 и 7; проверка 5 + 6 + 7 = 18.

Порядок работы: сначала ученик А решает левую карточку, ученик Б — правую. Затем они обмениваются листами, проверяют суммы и записывают замечания к модели; ответы находятся в самом конце материала. Дополнительное требование: расположить ответ строго по возрастанию.

Карточка А — построение уравнения

Имя: _____________________ Дата: ___________. Решите самостоятельно, без ответов соседа. На черновике выпишите n слагаемых и одно уравнение.

1. № 1. Сумма двух последовательных целых чисел равна 13. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
2. № 2. Сумма трёх последовательных целых чисел равна -3. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
3. № 3. Сумма четырёх последовательных целых чисел равна 18. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
4. № 4. Сумма пяти последовательных целых чисел равна 5. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
5. № 5. Сумма трёх последовательных целых чисел равна 27. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
6. № 6. Сумма четырёх последовательных целых чисел равна -14. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
7. № 7. Сумма двух последовательных целых чисел равна -13. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.

Для проверки товарища подчеркните первое число x и последнее x + (n−1). Убедитесь, что каждое соседнее отличается от предыдущего ровно на единицу.

Карточка Б — проверка знаков

Имя: _____________________ Дата: ___________. Решите самостоятельно, без ответов соседа. На черновике выпишите n слагаемых и одно уравнение.

1. № 8. Сумма трёх последовательных целых чисел равна 36. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
2. № 9. Сумма четырёх последовательных целых чисел равна 10. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
3. № 10. Сумма двух последовательных целых чисел равна -7. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
4. № 11. Сумма пяти последовательных целых чисел равна 20. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
5. № 12. Сумма четырёх последовательных целых чисел равна 2. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
6. № 13. Сумма трёх последовательных целых чисел равна -12. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.
7. № 14. Сумма пяти последовательных целых чисел равна 40. Найдите все эти числа и подтвердите подстановкой.

Обмен решениями и учительский контроль

Проверьте чужую работу по трём признакам: а) записаны именно подряд идущие целые, б) составлена сумма равная числу из условия, в) найденное x возвращено в исходную сумму. Сигнал ошибки: ученик берёт x, x+2, x+4 — это числа с шагом два, а не последовательные целые.

Ключ с полными уравнениями

1. № 1. x+(x+1)=13; 2x+1=13; x=6. Числа: 6, 7. Сумма = 13.
2. № 2. x+(x+1)+(x+2)=-3; 3x+3=-3; x=-2. Числа: -2, -1, 0. Сумма = -3.
3. № 3. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=18; 4x+6=18; x=3. Числа: 3, 4, 5, 6. Сумма = 18.
4. № 4. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5; 5x+10=5; x=-1. Числа: -1, 0, 1, 2, 3. Сумма = 5.
5. № 5. x+(x+1)+(x+2)=27; 3x+3=27; x=8. Числа: 8, 9, 10. Сумма = 27.
6. № 6. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=-14; 4x+6=-14; x=-5. Числа: -5, -4, -3, -2. Сумма = -14.
7. № 7. x+(x+1)=-13; 2x+1=-13; x=-7. Числа: -7, -6. Сумма = -13.
8. № 8. x+(x+1)+(x+2)=36; 3x+3=36; x=11. Числа: 11, 12, 13. Сумма = 36.
9. № 9. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=10; 4x+6=10; x=1. Числа: 1, 2, 3, 4. Сумма = 10.
10. № 10. x+(x+1)=-7; 2x+1=-7; x=-4. Числа: -4, -3. Сумма = -7.
11. № 11. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=20; 5x+10=20; x=2. Числа: 2, 3, 4, 5, 6. Сумма = 20.
12. № 12. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=2; 4x+6=2; x=-1. Числа: -1, 0, 1, 2. Сумма = 2.
13. № 13. x+(x+1)+(x+2)=-12; 3x+3=-12; x=-5. Числа: -5, -4, -3. Сумма = -12.
14. № 14. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=40; 5x+10=40; x=6. Числа: 6, 7, 8, 9, 10. Сумма = 40.

Оценивание: за каждое задание по 3 балла — модель, решение, проверка; за работу партнёра отдельный балл, если он нашёл и правильно объяснил ошибку. Максимум за личную карточку — 21 балл. Если сумма трёх последовательных целых равна 0, это не означает, что все числа нулевые: возможен набор −1, 0, 1.

Как партнёру обнаружить модельную ошибку

Если у соседа сумма совпала с условием, но числа идут через два, это не значит, что задача решена. Например, −3, −1, 1 в сумме дают −3, но не являются последовательными целыми: между ними пропущены −2 и 0. Проверять нужно сразу оба требования: разность каждой соседней пары должна равняться единице, а сумма — заданному числу. Одной правильной суммы недостаточно.

Ещё один способ самоконтроля: среднее арифметическое трёх последовательных целых равно среднему числу. Если тройка имеет сумму 24, её центральное число равно 8, а вся тройка — 7, 8, 9. Для чётного количества соседних целых среднее располагается между двумя центральными числами, например 3, 4, 5, 6 имеют среднее 4,5. Это проверка, а не замена составления уравнения.

Учителю удобно оценивать не только скорость работы, но и объяснение исправлений. При обмене листами ученики могут поставить отметку «модель», если верно выписано число слагаемых, и «сумма», если арифметика верна. Если встречается отрицательное x, не требуйте заменить его положительным: целые числа включают и отрицательные.