Карточка с объяснениями: деление рациональных чисел с разными знаками — 6 класс

Деление рациональных чисел с противоположными знаками

При делении отрицательного числа на положительное или положительного на отрицательное результат отрицателен. Чтобы не потерять знак, сначала запишите отдельно «разные знаки → минус», а затем вычислите частное модулей. Делитель всегда должен быть отличен от нуля; во всех упражнениях это условие соблюдено.

Часть упражнений содержит натуральные модули, а часть — обыкновенные дроби. В разных учебных программах РФ и Казахстана порядок введения рациональных дробей и деления может немного отличаться: если соответствующее действие ещё не изучалось, используйте только первые четырнадцать номеров.

Устная разминка: короткие частные

1. Разделите, не пользуясь калькулятором: (−18) : (3) = □
2. Разделите, не пользуясь калькулятором: (35) : (−5) = □
3. Разделите, не пользуясь калькулятором: (−42) : (7) = □
4. Разделите, не пользуясь калькулятором: (64) : (−8) = □
5. Разделите, не пользуясь калькулятором: (−81) : (9) = □
6. Разделите, не пользуясь калькулятором: (72) : (−12) = □
7. Разделите, не пользуясь калькулятором: (−96) : (6) = □
8. Разделите, не пользуясь калькулятором: (105) : (−7) = □

Здесь можно проверить ответ умножением: если (−18) : 3 = −6, то (−6) × 3 = −18. Обратная операция помогает отличить ошибку в выборе знака от ошибки в таблице умножения.

Серия с пропусками: вычислите частное

9. Разделите, не пользуясь калькулятором: (−120) : (15) = □
10. Разделите, не пользуясь калькулятором: (144) : (−12) = □
11. Разделите, не пользуясь калькулятором: (−175) : (25) = □
12. Разделите, не пользуясь калькулятором: (180) : (−9) = □
13. Разделите, не пользуясь калькулятором: (−210) : (14) = □
14. Разделите, не пользуясь калькулятором: (225) : (−15) = □

В номерах 9–14 многие частные целые, хотя делимые двузначные и трёхзначные. Сначала оцените модуль ответа: частное от деления на положительное число, большее единицы, по модулю меньше делимого. Затем найдите точное число.

Карточка с рациональными дробями

Напоминание для дробей: деление на ненулевую дробь заменяется умножением на обратную ей. Например, (−3/4) : (1/2) = (−3/4) × 2 = −3/2. Если дробь можно сократить, сократите числитель и знаменатель до окончательного ответа.

15. Заполните пропуск и сократите дробь: (−12) : (3/2) = □
16. Заполните пропуск и сократите дробь: (15/2) : (−3) = □
17. Заполните пропуск и сократите дробь: (−21/4) : (7/2) = □
18. Заполните пропуск и сократите дробь: (9/5) : (−3/5) = □
19. Заполните пропуск и сократите дробь: (−7/3) : (14/9) = □
20. Заполните пропуск и сократите дробь: (5/6) : (−5/12) = □
21. Заполните пропуск и сократите дробь: (−11/4) : (11/8) = □
22. Заполните пропуск и сократите дробь: (12/7) : (−3/7) = □

Итоговая самостоятельная работа

23. Самостоятельная работа. Найдите частное и выполните проверку умножением: (−15/8) : (5/4) = □
24. Самостоятельная работа. Найдите частное и выполните проверку умножением: (21/10) : (−7/5) = □
25. Самостоятельная работа. Найдите частное и выполните проверку умножением: (−25/6) : (5/3) = □
26. Самостоятельная работа. Найдите частное и выполните проверку умножением: (8/9) : (−4/3) = □
27. Самостоятельная работа. Найдите частное и выполните проверку умножением: (−9/10) : (3/5) = □
28. Самостоятельная работа. Найдите частное и выполните проверку умножением: (7/12) : (−7/6) = □

В самостоятельной части после каждого вычисления полезно записать обратное произведение. Деление рациональных чисел требует одновременно двух навыков: выбора знака и действия с модулями. Ученик может понимать одно правило и ошибаться в другом; поэтому отмечайте тип ошибки отдельно.

Проверьте, насколько уверенно усвоено правило

Два полных разобранных примера перед проверкой

Пример с целыми числами. Найдём 105 : (−7). У делимого плюс, у делителя минус — знаки разные, поэтому частное отрицательно. Модули дают 105 : 7 = 15. Следовательно, 105 : (−7) = −15. Обратная проверка: (−15) × (−7) = 105. Умножение двух отрицательных множителей возвращает положительное делимое. Такое обратное действие особенно полезно, когда ученик сомневается, не должно ли частное быть положительным.

Пример с дробями. Вычислим (−5/6) : (1/3). Делитель равен одной трети, его обратное число — 3. Тогда (−5/6) × 3 = −15/6 = −5/2. Сначала знак определяется по разным знакам делимого и делителя. Затем дробь сокращается на 3, но знак от сокращения не меняется. Проверим результат: (−5/2) × (1/3) = −5/6, то есть получено исходное делимое.

Как не перепутать знак и модуль

Старайтесь не выполнять оба шага в уме одновременно. В черновике можно сделать маленькую запись: «знак −» и рядом «модуль = 15». Получится итог −15. Когда оба числа записаны обыкновенными дробями, наиболее надёжна отдельная строка с заменой деления умножением на обратную дробь. Она позволяет заметить ошибку ещё до сокращения. Если делитель имеет вид −3/5, обратный ему множитель будет −5/3, а не +5/3. Знак остаётся частью числа; действие «перевернуть дробь» само по себе знак не меняет.

При проверке не нужно заново делить те же числа: умножьте предполагаемое частное на делитель. Например, чтобы проверить отрицательное число −4 как частное 12 : (−3), достаточно вычислить (−4) × (−3) = 12. Если вместо ожидаемого делимого получается число с противоположным знаком, возвращайтесь к правилу деления чисел с разными знаками. Если знак совпадает, но модуль другой, проверяйте упрощение дроби и правильность вычисления модулей.

В письменной работе учитель может оценивать три действия независимо: знак, нахождение модуля и проверку. Это позволяет подобрать коррекционную работу не для всего класса сразу, а для конкретной ошибки. Ученик, который уже уверенно делит натуральные числа, но ставит неправильный знак, нуждается в коротких упражнениях на знаки; а ученик, который хорошо определяет знак, но путает деление дробей, нуждается в тренировке обратных чисел.

Ключ и разбор

1. −6. Модуль: 18 : 3 = 6; знак отрицательный.
2. −7. Модуль: 35 : 5 = 7; знак отрицательный.
3. −6. Модуль: 42 : 7 = 6; знак отрицательный.
4. −8. Модуль: 64 : 8 = 8; знак отрицательный.
5. −9. Модуль: 81 : 9 = 9; знак отрицательный.
6. −6. Модуль: 72 : 12 = 6; знак отрицательный.
7. −16. Модуль: 96 : 6 = 16; знак отрицательный.
8. −15. Модуль: 105 : 7 = 15; знак отрицательный.
9. −8. Модуль: 120 : 15 = 8; знак отрицательный.
10. −12. Модуль: 144 : 12 = 12; знак отрицательный.
11. −7. Модуль: 175 : 25 = 7; знак отрицательный.
12. −20. Модуль: 180 : 9 = 20; знак отрицательный.
13. −15. Модуль: 210 : 14 = 15; знак отрицательный.
14. −15. Модуль: 225 : 15 = 15; знак отрицательный.
15. −8. Модуль: 12 : 3/2 = 8; знак отрицательный.
16. −5/2. Модуль: 15/2 : 3 = 5/2; знак отрицательный.
17. −3/2. Модуль: 21/4 : 7/2 = 3/2; знак отрицательный.
18. −3. Модуль: 9/5 : 3/5 = 3; знак отрицательный.
19. −3/2. Модуль: 7/3 : 14/9 = 3/2; знак отрицательный.
20. −2. Модуль: 5/6 : 5/12 = 2; знак отрицательный.
21. −2. Модуль: 11/4 : 11/8 = 2; знак отрицательный.
22. −4. Модуль: 12/7 : 3/7 = 4; знак отрицательный.
23. −3/2. Модуль: 15/8 : 5/4 = 3/2; знак отрицательный.
24. −3/2. Модуль: 21/10 : 7/5 = 3/2; знак отрицательный.
25. −5/2. Модуль: 25/6 : 5/3 = 5/2; знак отрицательный.
26. −2/3. Модуль: 8/9 : 4/3 = 2/3; знак отрицательный.
27. −3/2. Модуль: 9/10 : 3/5 = 3/2; знак отрицательный.
28. −1/2. Модуль: 7/12 : 7/6 = 1/2; знак отрицательный.

Важная проверка для дробных ответов: если ответ, например, −3/2, то обратное умножение на положительный делитель возвращает отрицательное делимое. Если произведение получилось положительным, ошибка возникла при выборе знака; если получился неправильный модуль, следует проверить переворачивание делителя и сокращение.

Частая ошибка — считать, что частное всегда отрицательно, если делимое отрицательное. Это верно только при положительном делителе. В данном рабочем листе специально подобраны только пары с разными знаками, чтобы сформировать правило без отвлекающих случаев.

Для печати: ученику предназначены только разделы до заголовка «Ключ и разбор». Учителю удобно распечатать ответы отдельно. Для самопроверки сначала укажите знак результата, затем вычислите его модуль и, где возможно, выполните обратное действие.