Наибольший общий делитель методом разложения: задания с ответами для 6 класса

Маршрут рассчитан на шестиклассника, который уже умеет раскладывать составное число на простые множители. НОД двух натуральных чисел — наибольшее натуральное число, на которое делятся оба без остатка. В каждом пункте требуется именно метод разложения, а не только угадывание ответа по таблице делителей.

Основное правило: выпишите канонические разложения обоих чисел; выберите простые множители, которые есть в обоих разложениях, в наименьших показателях; перемножьте выбранное. Например, 72 = 2³ · 3², 90 = 2 · 3² · 5; НОД(72, 90) = 2 · 3² = 18. Число 18 действительно делит оба числа: 72 : 18 = 4, 90 : 18 = 5.

Учебная карта предназначена для 20–30 минут работы. На контрольных точках сначала сверяйте сами разложения, а не только итоговый НОД. Если равенство не проходит проверку умножением, последующие шаги лучше исправить сразу.

Станция 1. Разложение и первые решения

Для заданий 1–6 рядом со значением НОД запишите два исходных разложения. Переходить к следующей станции желательно после того, как правило выбора меньшей степени стало понятным.

1. Разложите 36 и 60 на простые множители. Подчеркните общие простые множители с учётом повторений.
2. Найдите НОД(36, 60) по найденным разложениям.
3. Разложите 48 и 80. Для двойки укажите меньший показатель степени.
4. Найдите НОД(48, 80) и проверьте два деления без остатка.
5. Разложите 75 и 105; объясните, почему множитель 7 не входит в НОД.
6. Найдите НОД(75, 105), запишите его в виде произведения простых чисел.

Контрольная точка А

Проверьте себя без готового ключа: каждый простой множитель НОД должен быть у обоих чисел. Даже если НОД оказался верным, ошибка в разложении показывает, что способ ещё не освоен.

Станция 2. От двух множителей к нескольким

В заданиях 7–15 встречаются и взаимно простые числа. Это важная граница метода: если нет ни одного общего простого множителя, результат равен единице. Не считайте единицу простым числом: она появляется здесь как наибольший общий делитель.

7. Найдите НОД(72, 90), сохранив все промежуточные степени.
8. Вычислите НОД(84, 126). Назовите общие простые множители.
9. Вычислите НОД(96, 144) и проверьте, делит ли ответ 144.
10. Найдите НОД(125, 175). Почему множитель 7 исключается?
11. Найдите НОД(154, 231). Можно ли сразу увидеть общий множитель 77?
12. Найдите НОД(180, 252). Покажите общую часть разложений.
13. Вычислите НОД(210, 330) и разложите ответ.
14. Найдите НОД(48, 75). Объясните, почему ответ не равен 1.
15. Вычислите НОД(72, 125) и объясните, как распознать взаимную простоту.

Контрольная точка Б

За пять минут перепроверьте задания 9, 12 и 15. Для каждого ответа убедитесь, что оба исходных числа делятся на него и что выбран меньший показатель каждой общей простой степени. Если встретился ответ 1, проверьте отсутствие общих простых множителей по записи.

Станция 3. Найди и исправь чужую ошибку

Следующие четыре задания проверяют не скорость, а объяснение. Недостаточно зачеркнуть неверное число: нужно назвать конкретный этап, на котором нарушено правило метода разложения.

16. Ученик получил НОД(24, 36) = 12, но написал 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3² и выбрал 2³ · 3. Найдите ошибку.
17. Для чисел 54 и 81 одноклассник включил множитель 2 в НОД. Объясните, почему это невозможно, и вычислите правильный ответ.
18. При разложении 64 и 96 получено НОД = 2⁶. Исправьте выбор степени и объясните правило.
19. У двух чисел разложения 2³ · 5² и 2² · 3 · 5. Найдите их НОД и восстановите сами числа.

Финальный тест: применение НОД

В заданиях 20–24 верный ответ должен иметь краткое обоснование. В задачах о предметах определите, почему именно максимальное количество наборов или максимальная длина куска выражается через НОД.

20. Есть 72 красные и 120 синих фишек. Сколько одинаковых наборов с одинаковым составом можно составить без остатка, если наборов должно быть как можно больше?
21. Две ленты длиной 96 см и 144 см режут на максимально длинные одинаковые куски без остатка. Чему равна длина куска?
22. Найдите НОД(105, 140) методом разложения. Обязательно покажите, почему ответ — делитель обоих чисел.
23. Найдите НОД(150, 210) и назовите число общих простых множителей с учётом повторений.
24. Верно ли утверждение «НОД(81, 100) = 9, ведь 81 делится на 9»? Исправьте ответ.

Маршрут проверки: 1) разложения дают исходные числа при умножении; 2) в НОД входят только общие простые множители; 3) выбран меньший показатель; 4) ответ делит оба числа; 5) текстовая задача имеет правильные единицы измерения.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

1. 36 = 2² · 3²; 60 = 2² · 3 · 5. Общий набор — 2, 2 и 3.
2. НОД = 2² · 3 = 12.
3. 48 = 2⁴ · 3; 80 = 2⁴ · 5; меньший показатель двойки — 4.
4. НОД = 16; 48 : 16 = 3, 80 : 16 = 5.
5. 75 = 3 · 5²; 105 = 3 · 5 · 7. Множитель 7 есть только у 105.
6. НОД = 3 · 5 = 15.
7. 72 = 2³ · 3², 90 = 2 · 3² · 5. НОД = 2 · 3² = 18.
8. 84 = 2² · 3 · 7; 126 = 2 · 3² · 7; общая часть 2 · 3 · 7 = 42.
9. 96 = 2⁵ · 3, 144 = 2⁴ · 3²; НОД = 2⁴ · 3 = 48; 144 : 48 = 3.
10. 125 = 5³, 175 = 5² · 7; НОД = 5² = 25, семёрка отсутствует у 125.
11. 154 = 2 · 7 · 11, 231 = 3 · 7 · 11; НОД = 7 · 11 = 77.
12. 180 = 2² · 3² · 5, 252 = 2² · 3² · 7; НОД = 2² · 3² = 36.
13. 210 = 2 · 3 · 5 · 7, 330 = 2 · 3 · 5 · 11; НОД = 2 · 3 · 5 = 30.
14. 48 = 2⁴ · 3, 75 = 3 · 5²; общий множитель 3, значит НОД = 3.
15. 72 = 2³ · 3², 125 = 5³. Общих простых множителей нет, НОД = 1.
16. Нужно брать меньшие показатели: min(3, 2) = 2 для двойки и min(1, 2) = 1 для тройки. НОД = 2² · 3 = 12, а 2³ · 3 = 24 не делит 36.
17. 54 = 2 · 3³, 81 = 3⁴; общая часть 3³, НОД = 27. Двойка не делит 81.
18. 64 = 2⁶, 96 = 2⁵ · 3; НОД = 2⁵ = 32. Меньший показатель 5.
19. Числа 200 и 60; НОД = 2² · 5 = 20. Проверка: 200 : 20 = 10, 60 : 20 = 3.
20. НОД(72, 120) = 24: 72 = 2³ · 3², 120 = 2³ · 3 · 5. Получатся 24 набора по 3 красные и 5 синих фишек.
21. НОД(96, 144) = 48 см. Оба отрезка делятся на 48 без остатка.
22. 105 = 3 · 5 · 7, 140 = 2² · 5 · 7; НОД = 5 · 7 = 35; 105 : 35 = 3, 140 : 35 = 4.
23. 150 = 2 · 3 · 5², 210 = 2 · 3 · 5 · 7; НОД = 2 · 3 · 5 = 30; общих простых множителей три с учётом повторений.
24. Неверно: 81 = 3⁴, 100 = 2² · 5²; общих простых множителей нет, НОД = 1.

Критерии результата

20–24 верных задания — метод усвоен уверенно; 15–19 — достаточно повторить сравнение показателей; 10–14 — полезно ещё раз пройти станцию 1; меньше 10 — потренируйте сначала каноническое разложение. Проверяйте именно ход решения, потому что случайно угаданное число не подтверждает освоения метода.

Для учителя: станции 1 и 2 удобно выполнять индивидуально, ошибки станции 3 — обсудить с партнёром, финальные ситуации — оценить письменно. Работа применима как для программ РФ, так и Казахстана при условии, что тема НОД уже изучена.

Ещё один способ контроля для ученика: когда НОД найден, разделите оба числа на него. Если в полученных частных сохранился общий простой делитель, исходный НОД был слишком маленьким. Например, для 72 и 90 правильные частные 4 и 5 не имеют общего делителя больше 1; это дополнительное подтверждение максимальности числа 18.