Наименьшее общее кратное через простые множители — задачи и ответы, 6 класс

Три независимых варианта по шесть заданий для 6 класса. Их удобно раздать разным рядам, использовать на уроке и затем обменять для взаимопроверки. В каждом варианте есть вычисление, небольшая ситуация из жизни и вопрос, проверяющий смысл метода. Ответы размещены после всех трёх вариантов.

Короткое правило перед работой

НОК — наименьшее положительное число, которое делится на оба данных числа. При разложении на простые множители берите все встречающиеся простые числа в наибольших степенях. Например, 12 = 2² · 3, 30 = 2 · 3 · 5; НОК = 2² · 3 · 5 = 60. Не путайте с НОД: для НОД берут только общие простые множители и меньшие степени.

Решайте сначала на отдельном листе. Проверка НОК: результат делится без остатка на каждое исходное число. Само условие делимости ещё не доказывает минимальность; её обосновывает выбор максимальных степеней в канонических разложениях.

Вариант 1. Базовая практика

1. Вычислите НОК(12, 18) через канонические разложения.
2. Найдите НОК(20, 30). Выпишите все простые множители, вошедшие в результат.
3. Найдите НОК(14, 21) и убедитесь, что он делится на оба числа.
4. Вычислите НОК(24, 40). Какую степень двойки нужно выбрать?
5. Два сигнала повторяются через 6 и 8 минут. Через сколько минут после общего старта они вновь прозвучат одновременно?
6. Ученик написал: «НОК(9, 12) = 108, ведь 9 · 12 = 108». Верно ли это? Объясните.

Вариант 2. Уверенное владение методом

7. Найдите НОК(15, 25) по степеням простых множителей.
8. Вычислите НОК(18, 24). Запишите разложения и результат.
9. Найдите НОК(16, 36). Назовите максимальную степень двойки.
10. Вычислите НОК(22, 33) и проверьте его делением.
11. Автобус А приходит каждые 10 минут, автобус Б — каждые 15 минут. Они вместе прибыли в 09:00. Когда это произойдёт снова?
12. Проверьте утверждение «НОК(8, 20) = 40». Подтвердите или опровергните разложением.

Вариант 3. Дополнительное усложнение

13. Найдите НОК(28, 42). Запишите простые множители.
14. Найдите НОК(32, 48) и укажите показатель двойки в результате.
15. Вычислите НОК(45, 60). Проверьте ответ обоими делениями.
16. Найдите НОК(35, 50). Почему нужно сохранить множитель 7?
17. Два фонаря вспыхивают через каждые 12 и 18 секунд. Через сколько секунд после одновременной вспышки они снова вспыхнут вместе?
18. Проверьте запись «НОК(14, 35) = 70» при помощи простых множителей.

Форма записи: исходные разложения → выбранные простые степени → произведение → ответ. Для задач с интервалами укажите единицу времени, а при необходимости точное время следующего совпадения. В каждом варианте максимум шесть баллов, по одному за номер при наличии обоснования.

Полный ключ с разбором для проверки

Ответы к варианту 1 (задания 1–6)

1. 12 = 2² · 3; 18 = 2 · 3². НОК = 2² · 3² = 36.
2. 20 = 2² · 5; 30 = 2 · 3 · 5. НОК = 2² · 3 · 5 = 60.
3. 14 = 2 · 7; 21 = 3 · 7. НОК = 2 · 3 · 7 = 42; 42 : 14 = 3, 42 : 21 = 2.
4. 24 = 2³ · 3; 40 = 2³ · 5. Берём 2³; НОК = 2³ · 3 · 5 = 120.
5. НОК(6, 8) = 24 минуты; сигналы совпадут через 24 минуты.
6. Неверно: 9 = 3², 12 = 2² · 3; НОК = 2² · 3² = 36. Произведение не всегда наименьшее общее кратное.

Ответы к варианту 2 (задания 7–12)

7. 15 = 3 · 5; 25 = 5²; НОК = 3 · 5² = 75.
8. 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3; НОК = 2³ · 3² = 72.
9. 16 = 2⁴, 36 = 2² · 3²; берём степень 2⁴; НОК = 2⁴ · 3² = 144.
10. 22 = 2 · 11, 33 = 3 · 11; НОК = 2 · 3 · 11 = 66; делится на 22 и на 33.
11. НОК(10, 15) = 30 минут; оба автобуса вновь прибудут в 09:30.
12. Верно: 8 = 2³, 20 = 2² · 5; НОК = 2³ · 5 = 40.

Ответы к варианту 3 (задания 13–18)

13. 28 = 2² · 7; 42 = 2 · 3 · 7; НОК = 2² · 3 · 7 = 84.
14. 32 = 2⁵, 48 = 2⁴ · 3; НОК = 2⁵ · 3 = 96; показатель двойки 5.
15. 45 = 3² · 5, 60 = 2² · 3 · 5; НОК = 2² · 3² · 5 = 180; 180 : 45 = 4, 180 : 60 = 3.
16. 35 = 5 · 7, 50 = 2 · 5²; НОК = 2 · 5² · 7 = 350; семёрка необходима для делимости результата на 35.
17. НОК(12, 18) = 36 секунд.
18. Верно: 14 = 2 · 7, 35 = 5 · 7; НОК = 2 · 5 · 7 = 70.

Как разобрать типичную ошибку

Если ученик просто перемножил два данных числа, обсудите общий множитель. Например, 9 и 12 имеют общую тройку, поэтому 108 кратно обоим, но не является наименьшим общим кратным. Если ученик ошибся в степени, достаточно пересчитать делимость найденного числа на каждое исходное число.

Для самопроверки: 6/6 означает уверенное выполнение данного варианта; 4–5/6 — исправьте одну конкретную ошибку; 0–3/6 — повторите разложение и правило выбора степеней, затем решите другой вариант без подсказки.

Почему наибольшая степень, а не наименьшая

Представьте кратное чисел 16 и 36. Число 16 содержит четыре двойки, поэтому общее кратное обязано содержать как минимум 2⁴. А число 36 содержит две тройки, поэтому нужны 3². Произведение 2⁴ · 3² = 144 уже делится на оба числа. Удаление любой двойки или тройки разрушило бы одно из этих условий. Это объясняет, почему найденный результат не просто кратен обоим числам, но и минимален.

Та же мысль работает, когда пары имеют общий множитель. Например, 28 = 2² · 7 и 42 = 2 · 3 · 7. Для общего кратного надо сохранить двойку во второй степени, тройку и одну семёрку. Две семёрки не нужны: каждое из данных чисел требует не больше одной. В результате получается 84, а не произведение исходных чисел 1176.

Если вы хотите потренировать объяснение, выберите любой номер из трёх вариантов и скажите вслух: «Это число делится на первое, потому что…; на второе, потому что…; меньшего общего кратного нет, потому что…». Такое обоснование оценивается выше, чем запись одного ответа без разложений.