Восстановление коэффициента одночлена после приведения к стандартному виду — задания с разбором, 7 класс

Математика, 7 класс. Рабочая карточка MATH-1284. Все задания рассчитаны на письменное выполнение; ответы и объяснения помещены в конце материала.

В этой работе неизвестная буква обозначает числовой коэффициент, а x и y — буквенные множители одночлена. Чтобы найти неизвестное, сначала превращают произведение в стандартный вид: отдельно перемножают числа, отдельно собирают степени переменных.

Старт: найдите коэффициент, не раскрывая лишнего

Например, (−2a·x)(3x²)(−y) = 6a·x³y. Если коэффициент стандартного вида равен 30, то 6a = 30, следовательно a = 5. Вопрос о коэффициенте нельзя решать по степени: показатель x здесь равен 3, а коэффициент — 6a.

Маршрут ученика

1. Перемножьте числовые множители, учитывая число отрицательных знаков.
2. Сложите показатели степеней одинаковых переменных: x²·x = x³.
3. Приравняйте найденный числовой коэффициент заданному.
4. Разделите на ненулевой числовой множитель и проверьте подстановкой.

Станция А — лёгкий старт

1. (2a·x)(−3x²): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть −24. Найдите a.
2. (−5y)(b·x·y²): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 35. Найдите b.
3. (−2a·x²)(−4xy): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 56. Найдите a.
4. (3x)(−2b·y)(−x²): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть −18. Найдите b.
5. (−a·y²)(−6x³): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть −42. Найдите a.

Развилка: верно или ошибка?

Рассмотрите решение: «(−3a·x)(−2x²) даёт −6a·x³; при коэффициенте 18 получится a = −3». Оно неверно уже в первом шаге: произведение двух отрицательных множителей положительно, поэтому правильно 6a·x³, а при коэффициенте 18 должно быть a = 3. Ученик может получить красивое число, но ошибочный знак разрушает решение.

Станция Б — закрепление знаков

6. (4b·x)(−3xy²): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 72. Найдите b.
7. (−7x²)(−cxy): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 21. Найдите c.
8. (2a·xy)(−5xy²): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 50. Найдите a.
9. (−3m·x²)(2x)(−y): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть −48. Найдите m.
10. (−4n·y)(−2xy)(−x): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 64. Найдите n.
11. (6x²)(−a·y³): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 90. Найдите a.

На этой ступени разберите отдельно числовой коэффициент и буквенную часть. Если отрицательных множителей три, итоговый знак отрицателен до подстановки неизвестной. Отрицательное значение самой неизвестной может изменить итоговый знак ещё раз — поэтому его всегда проверяют.

Станция В — составные произведения и границы

12. (−9b·xy)(−2x²): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть −54. Найдите b.
13. (−2x)(−3c·y)(−4y²): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 120. Найдите c.
14. (5d·x)(−2xy²)(−x): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть −70. Найдите d.
15. (−a·x)(−x)(−x): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть −12. Найдите a.
16. (−4e·y)(3x)(2y): после приведения к стандартному виду коэффициент должен быть 96. Найдите e.
17. После приведения выражения (0·a·x²)(−7y) коэффициент требуется равным 0. Сколько значений a подходит?
18. Для того же выражения (0·a·x²)(−7y) потребовали коэффициент 14. Почему задача не имеет решения?

Ключ с проверкой

• 1. Числовые множители и знак дают коэффициент -6a; решаем -6a = −24, получаем a = 4. Проверка коэффициента: −6 · 4 = −24. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 2. Числовые множители и знак дают коэффициент −5b; решаем −5b = 35, получаем b = −7. Проверка коэффициента: −5 · (−7) = 35. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 3. Числовые множители и знак дают коэффициент 8a; решаем 8a = 56, получаем a = 7. Проверка коэффициента: 8 · 7 = 56. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 4. Числовые множители и знак дают коэффициент 6b; решаем 6b = −18, получаем b = −3. Проверка коэффициента: 6 · (−3) = −18. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 5. Числовые множители и знак дают коэффициент 6a; решаем 6a = −42, получаем a = −7. Проверка коэффициента: 6 · (−7) = −42. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 6. Числовые множители и знак дают коэффициент −12b; решаем −12b = 72, получаем b = −6. Проверка коэффициента: −12 · (−6) = 72. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 7. Числовые множители и знак дают коэффициент 7c; решаем 7c = 21, получаем c = 3. Проверка коэффициента: 7 · 3 = 21. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 8. Числовые множители и знак дают коэффициент −10a; решаем −10a = 50, получаем a = −5. Проверка коэффициента: −10 · (−5) = 50. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 9. Числовые множители и знак дают коэффициент 6m; решаем 6m = −48, получаем m = −8. Проверка коэффициента: 6 · (−8) = −48. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 10. Числовые множители и знак дают коэффициент −8n; решаем −8n = 64, получаем n = −8. Проверка коэффициента: −8 · (−8) = 64. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 11. Числовые множители и знак дают коэффициент −6a; решаем −6a = 90, получаем a = −15. Проверка коэффициента: −6 · (−15) = 90. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 12. Числовые множители и знак дают коэффициент 18b; решаем 18b = −54, получаем b = −3. Проверка коэффициента: 18 · (−3) = −54. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 13. Числовые множители и знак дают коэффициент −24c; решаем −24c = 120, получаем c = −5. Проверка коэффициента: −24 · (−5) = 120. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 14. Числовые множители и знак дают коэффициент 10d; решаем 10d = −70, получаем d = −7. Проверка коэффициента: 10 · (−7) = −70. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 15. Числовые множители и знак дают коэффициент −a; решаем −a = −12, получаем a = 12. Проверка коэффициента: −12 = −12. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 16. Числовые множители и знак дают коэффициент −24e; решаем −24e = 96, получаем e = −4. Проверка коэффициента: −24 · (−4) = 96. Степени одинаковых букв при этом складываются, но не влияют на найденный числовой коэффициент.
• 17. Подойдёт любое a: нулевой множитель обнуляет весь одночлен. Его стандартный вид — 0; указать единственное значение a нельзя.
• 18. Нет решений: нуль при любом a не превращается в коэффициент 14. Нельзя сокращать на нулевой множитель.

Самопроверка и исправление ошибок

• Если забыли, почему знак получился плюсом, посчитайте число отрицательных числовых множителей.
• Если сложили коэффициенты вместо показателей степеней, перепишите произведение чисел отдельно от произведения букв.
• Если деление дало странный результат, подставьте найденное значение обратно в исходное произведение.
• Если перед a оказался нуль, рассматривайте задачу отдельно: делить на него нельзя.

Обратное объяснение учителю: в заданиях 17–18 при одинаковой буквенной части разные требования к коэффициенту дают два принципиально разных исхода: любой a либо ни одного. Это полноценная проверка понимания алгоритма, а не техническое исключение.