Проверка степени одночлена после приведения к стандартному виду: упражнения разной сложности, 7 класс

Математика, 7 класс. Рабочая карточка MATH-1287. Все задания рассчитаны на письменное выполнение; ответы и объяснения помещены в конце материала.

Частая ошибка: вычислить произведение чисел, увидеть отрицательный коэффициент и объявить степень отрицательной. Степень ненулевого одночлена — это сумма показателей степеней букв в стандартном виде. Знак коэффициента не участвует в сложении показателей.

Базовый пример и обратная проверка

Приведём (−2x²y)(3x³y²) к стандартному виду: числовой коэффициент −6, буквенная часть x⁵y³, общая степень 5 + 3 = 8. Если результат −6x⁵y³ снова разложить на (−2x²y)·(3x³y²), сумма степеней множителей равна (2 + 1) + (3 + 2) = 8. Это обратная проверка без повторения длинного раскрытия.

Проверка на разных способах записи

Один и тот же одночлен может выглядеть по-разному до приведения. Например, запись (−4a²b)(−3a³b²) содержит два отрицательных коэффициента и две группы букв. Стандартный вид — 12a⁵b³, а степень — 8. Можно получить этот ответ двумя путями: сразу сложить показатели по каждой букве или сначала вычислить степени множителей 3 и 5, затем сложить их. Оба пути дают 8. Различие между ними полезно: совпадение ответов служит проверкой.

Обратите внимание: сложение степеней исходных множителей корректно для произведения ненулевых одночленов с неотрицательными целыми показателями. Оно не разрешает складывать коэффициенты и не заменяет правила знаков. В выражении (−a)(−b) две отрицательные единицы дают коэффициент +1, хотя буквенные показатели остаются равными 1 и 1, а общая степень результата составляет 2.

Серия 1. Приведите к стандартному виду и определите степень

1. (−3x²y)(4xy³). Запишите коэффициент, буквенную часть и степень; обоснуйте знаки.
2. (−2a³)(−5a²b). Запишите коэффициент, буквенную часть и степень; обоснуйте знаки.
3. (6m²n)(−m³n⁴). Запишите коэффициент, буквенную часть и степень; обоснуйте знаки.
4. (−7p)(−2p⁴q²). Запишите коэффициент, буквенную часть и степень; обоснуйте знаки.
5. (−x²y)(−xy²). Запишите коэффициент, буквенную часть и степень; обоснуйте знаки.
6. (3ab²)(−4a²b). Запишите коэффициент, буквенную часть и степень; обоснуйте знаки.

Серия 2. Составные произведения

В произведении из трёх одночленов полезно не умножать всё сразу, а отдельно выписать числовой знак, произведение модулей коэффициентов и сумму показателей для каждой буквы. Тогда ошибка видна ещё до окончательного ответа.

7. (−5x³)(−2x²)(−y³). После упрощения выполните обратную проверку степеней множителей.
8. (−2r²s³)(4r³s²). После упрощения выполните обратную проверку степеней множителей.
9. (−6t)(t⁶). После упрощения выполните обратную проверку степеней множителей.
10. (−3p²q³)(−4pq)(2q). После упрощения выполните обратную проверку степеней множителей.
11. (−9x²)(−x³). После упрощения выполните обратную проверку степеней множителей.
12. (5m²n⁴)(−2m³n). После упрощения выполните обратную проверку степеней множителей.
13. (−2x)(−3y)(−4z). После упрощения выполните обратную проверку степеней множителей.

Серия 3. Обратные задачи: задана степень, ищите показатель

14. Степень (−3x²)(5x^ky³) равна 9. Найдите целое k ≥ 0.
15. Степень (−2p³q²)(−7p^kq) равна 12. Определите k ≥ 0.
16. Степень (−4a^kb²)(3a²b) равна 10. Восстановите k ≥ 0.

Решения и обратные проверки

• 1. Стандартный вид −12x³y⁴, степень 7: −3 · 4 = −12, x²·x = x³, y·y³ = y⁴. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 2. Стандартный вид 10a⁵b, степень 6: два минуса дают плюс, 3 + 2 + 1 = 6. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 3. Стандартный вид −6m⁵n⁵, степень 10: показатели складываются: 2 + 3 = 5 и 1 + 4 = 5. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 4. Стандартный вид 14p⁵q², степень 7: коэффициент 14, общая степень 5 + 2 = 7. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 5. Стандартный вид x³y³, степень 6: знаки компенсируются, 3 + 3 = 6. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 6. Стандартный вид −12a³b³, степень 6: коэффициент −12, степени 3 и 3. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 7. Стандартный вид −10x⁵y³, степень 8: три отрицательных множителя дают минус, 5 + 3 = 8. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 8. Стандартный вид −8r⁵s⁵, степень 10: степень 5 + 5 = 10. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 9. Стандартный вид −6t⁷, степень 7: у t в первом множителе показатель 1. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 10. Стандартный вид 24p³q⁵, степень 8: 12 · 2 = 24; p³q⁵ имеет степень 3 + 5 = 8. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 11. Стандартный вид 9x⁵, степень 5: два минуса дают плюс, 2 + 3 = 5. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 12. Стандартный вид −10m⁵n⁵, степень 10: коэффициент −10, показатели 5 и 5. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.
• 13. Стандартный вид −24xyz, степень 3: три минуса, три разные переменные степени 1. Сумма степеней исходных ненулевых множителей совпадает с итоговой.

Решения обратных задач

• 14. 2 + k + 3 = 9, поэтому k = 4. Коэффициент −15 и знак не влияют на степень.
• 15. 3 + k + 2 + 1 = 12, откуда k = 6. Обратная проверка: p⁹q³ имеет степень 12.
• 16. k + 2 + 2 + 1 = 10, следовательно k = 5. Стандартный вид −12a⁷b³, его степень 10.

Разбор сложных способов самопроверки

Первый способ — проверить числовую часть. Например, если в записи три множителя с отрицательными коэффициентами, знак произведения обязан быть отрицательным. Если в готовом ответе плюс, дальнейшая проверка степеней не спасёт решение: ответ уже неверен. Второй способ — проверить каждую букву отдельно: общий показатель x должен равняться сумме показателей x из всех исходных скобок, включая неявную единицу у одиночного x. Смешивать показатели разных букв нельзя.

Третий способ — использовать общую степень как контрольную сумму. Для ненулевых одночленов степень произведения равна сумме степеней множителей. Если один множитель имеет степень 4, другой 6, то результат обязан иметь степень 10, независимо от того, какой у него числовой коэффициент и сколько отрицательных знаков. Но это не означает, что каждая конкретная буква получает показатель 10: общая степень складывается из показателей всех букв вместе.

Обратные задачи с неизвестным показателем k проверяют более глубокое понимание. Мы не выбираем k наугад по одному примеру числовой подстановки, а составляем равенство для суммы показателей. Если степени всех остальных переменных известны, из равенства однозначно находится k. После этого обязательно проверяем, что полученная степень неотрицательна и удовлетворяет условию задачи. Так мы проверяем не только вычисление, но и допустимость показателя.

Объясните ошибку одноклассника

Ученик записал: «(−5x³)(−2x²)(−y³) = +10x⁵y³, степень −8, ведь произведение отрицательное». Здесь две ошибки: три отрицательных множителя дают отрицательный коэффициент −10; сумма показателей равна положительному числу 8. Исправленное равенство: (−5x³)(−2x²)(−y³) = −10x⁵y³, степень 8.

Ещё одна проверка: если после приведения степень внезапно оказалась меньше степени одного из ненулевых множителей с неотрицательными целыми показателями, значит, где-то потеряна буква или её степень. В данном разделе рассматриваем именно ненулевые одночлены: у нулевого результата степень здесь не определяют.

Для учителя: в заданиях с k важно потребовать не только число, но и объяснение, почему оно единственное среди целых неотрицательных показателей. Сумма фиксированных показателей известна, поэтому остаётся простое линейное уравнение; обратная подстановка подтверждает результат. Если учащийся пишет только итоговую степень, попросите отдельно указать сумму показателей каждой переменной: так легче увидеть потерянную единицу или ошибочный знак.