Сравнение скоростей изменения двух функций при известном пересечении оси ординат — тренажёр для 7 класса

Математика · 7 класс · MATH-1331. Цель: доказательно сравнивать коэффициенты наклона при известных пересечениях оси ординат. Задания выполняют на бумаге; подробные ответы даны после упражнений.

Проверьте спорный тезис: «У какой прямой точка пересечения с Oy расположена выше, та функция растёт быстрее». В графике y = kx + b число b показывает значение при x = 0, а k — сколько прибавится к y за единицу x. Из одного лишь b нельзя сделать вывод о k.

Почему скорость изменения равна коэффициенту k

Возьмём две точки одной функции: y(x₁) = kx₁ + b и y(x₂) = kx₂ + b. Их разность y(x₂) − y(x₁) = k(x₂ − x₁), потому что b сокращается. Если x₂ − x₁ = 1, получаем Δy = k. Это доказательство не зависит от положения начала отсчёта, значения b и от того, положительный или отрицательный k. Значит, сравнивать надо коэффициенты перед x, а не высоту, на которой прямые пересекают Oy.

Слово «быстрее» требует точности. В задачах о возрастании большее положительное k означает более быстрый рост. При отрицательных k функция убывает: например, k = −5 даёт падение на 5 единиц за шаг, тогда как k = −2 — на 2. Если сравнивают абсолютную величину изменения независимо от направления, используют |k|, но нельзя называть возрастающую функцию «быстрее убывающей». Отдельно выясняйте, что спрашивает задание: алгебраическое приращение или модуль.

Три коротких доказательства на специальных случаях

Равные b, разные k. Прямые y = 2x + 4 и y = −x + 4 проходят через одну точку (0; 4), но при шаге x на 1 их значения меняются на +2 и −1. Общая точка на оси не определяет направление движения.

Разные b, равные k. Прямые y = 3x − 6 и y = 3x + 2 имеют одинаковое приращение +3 на каждый шаг; это две параллельные прямые. Нулевое k. Функция y = −5 вовсе не меняется при росте x, хотя её b отрицательно.

Чтобы проверить рассуждение, удобно составить мини-таблицу из двух строк x = 0 и x = 1. В этих строках всегда видны b и b + k, а их разность равна k. Для отрицательного шага по x знак приращения меняется, что тоже не изменяет коэффициент наклона самой прямой.

Практика: сравните темп и обоснуйте выбор

Доказательство по разности значений

1. Известны y = 3x + 2 и y = −x + 2. Найдите приращение каждой функции при переходе от x = 2 к x = 5, сравните темпы, поясните роль свободных членов.
2. Известны y = −2x + 4 и y = 2x + 4. Найдите приращение каждой функции при переходе от x = 2 к x = 5, сравните темпы, поясните роль свободных членов.
3. Известны y = −3 и y = −3x + 1. Найдите приращение каждой функции при переходе от x = 2 к x = 5, сравните темпы, поясните роль свободных членов.
4. Даны y = 5x − 2 и y = 5x + 3. У какой функции больше модуль приращения при росте x на единицу? Укажите также, какая функция возрастает, а какая убывает.

Особые случаи и равные наклоны

5. Для y = 1/2x − 3 и y = 3/2x − 3 выясните, одинакова ли скорость изменения, даже если ординаты пересечения с осью Oy различны. Подтвердите вычислением при x = 0 и x = 1.
6. Известны y = 2x − 1 и y = −4x + 3. Найдите приращение каждой функции при переходе от x = 2 к x = 5, сравните темпы, поясните роль свободных членов.
7. Даны y = −5x и y = −x − 2. У какой функции больше модуль приращения при росте x на единицу? Укажите также, какая функция возрастает, а какая убывает.
8. Известны y = 4x + 7 и y = 2x − 1. Найдите приращение каждой функции при переходе от x = 2 к x = 5, сравните темпы, поясните роль свободных членов.

Проверка понятия «быстрее»

9. Для y = −x − 2 и y = −6x − 6 выясните, одинакова ли скорость изменения, даже если ординаты пересечения с осью Oy различны. Подтвердите вычислением при x = 0 и x = 1.
10. Даны y = 3x + 5 и y = −2x − 1. У какой функции больше модуль приращения при росте x на единицу? Укажите также, какая функция возрастает, а какая убывает.
11. Известны y = −4 и y = −2. Найдите приращение каждой функции при переходе от x = 2 к x = 5, сравните темпы, поясните роль свободных членов.
12. Для y = −3x + 1 и y = x + 5 выясните, одинакова ли скорость изменения, даже если ординаты пересечения с осью Oy различны. Подтвердите вычислением при x = 0 и x = 1.

Ответы с объяснением

• 1. При Δx = 3: Δy₁ = 3 · (3) = 9, Δy₂ = 3 · (−1) = −3. Алгебраически первая изменяется быстрее; значения b₁ = 2 и b₂ = 2 прибавляются к обеим ординатам и при вычитании исчезают.
• 2. При Δx = 3: Δy₁ = 3 · (−2) = −6, Δy₂ = 3 · (2) = 6. Алгебраически вторая изменяется быстрее; значения b₁ = 4 и b₂ = 4 прибавляются к обеим ординатам и при вычитании исчезают.
• 3. При Δx = 3: Δy₁ = 3 · (0) = 0, Δy₂ = 3 · (−3) = −9. Алгебраически первая изменяется быстрее; значения b₁ = −3 и b₂ = 1 прибавляются к обеим ординатам и при вычитании исчезают.
• 4. Алгебраические приращения 5 и 5: равны. По модулю изменения 5 и 5: одинаково. Первая функция возрастает, вторая возрастает. Модуль изменения не следует путать со знаковым приращением.
• 5. k₁ = 1/2, k₂ = 3/2; алгебраическое приращение первой функции меньше. При x = 0 значения −3 и −3, при x = 1 — −5/2 и −3/2. Разности точно 1/2 и 3/2.
• 6. При Δx = 3: Δy₁ = 3 · (2) = 6, Δy₂ = 3 · (−4) = −12. Алгебраически первая изменяется быстрее; значения b₁ = −1 и b₂ = 3 прибавляются к обеим ординатам и при вычитании исчезают.
• 7. Алгебраические приращения −5 и −1: второе больше. По модулю изменения 5 и 1: первая. Первая функция убывает, вторая убывает. Модуль изменения не следует путать со знаковым приращением.
• 8. При Δx = 3: Δy₁ = 3 · (4) = 12, Δy₂ = 3 · (2) = 6. Алгебраически первая изменяется быстрее; значения b₁ = 7 и b₂ = −1 прибавляются к обеим ординатам и при вычитании исчезают.
• 9. k₁ = −1, k₂ = −6; алгебраическое приращение первой функции больше. При x = 0 значения −2 и −6, при x = 1 — −3 и −12. Разности точно −1 и −6.
• 10. Алгебраические приращения 3 и −2: первое больше. По модулю изменения 3 и 2: первая. Первая функция возрастает, вторая убывает. Модуль изменения не следует путать со знаковым приращением.
• 11. При Δx = 3: Δy₁ = 3 · (0) = 0, Δy₂ = 3 · (0) = 0. Алгебраически одинаковая имеют равные приращения; значения b₁ = −4 и b₂ = −2 прибавляются к обеим ординатам и при вычитании исчезают.
• 12. k₁ = −3, k₂ = 1; алгебраическое приращение первой функции меньше. При x = 0 значения 1 и 5, при x = 1 — −2 и 6. Разности точно −3 и 1.

Для устного доказательства недостаточно произнести только «первый коэффициент больше второго». Уточните, что шаг по аргументу выбран положительным и одинаковым для обеих прямых. Если он равен трём, изменения будут 3k₁ и 3k₂; знак неравенства сохраняется. При отрицательном шаге направление изменения по y меняется, поэтому важно не забывать о знаке самого шага. Пересечение Oy при этом остаётся тем же, но не влияет на результат сравнения. Так один метод связывает уравнение, таблицу и движение по графику.

Итоговый вывод

При заданных уравнениях линейных функций скорость изменения полностью определена коэффициентом k. Ордината b задаёт вертикальный сдвиг графика и не участвует в приращении. Проверка через две точки защищает от частой ошибки — сравнивать только высоту графиков. Отдельно следует оговаривать знак изменения и его модуль, особенно когда одна прямая идёт вверх, а другая вниз.