Сравнение скоростей изменения двух функций с дробным коэффициентом наклона — упражнения разной сложности, 7 класс

Математика · 7 класс · MATH-1332. Цель: без округлений сравнивать дробные коэффициенты наклона и исправлять ошибки со знаками. Задания выполняют на бумаге; подробные ответы даны после упражнений.

Здесь сравниваются именно дробные коэффициенты наклона двух линейных функций. Свободные члены не влияют на темп изменения. Если k отрицателен, прямая убывает, и важно сохранять знак при вычислениях. На этой странице мы не ищем точки пересечения графиков — только приращения при одинаковом шаге по x.

Старт: небольшой шаг без калькулятора

Две функции имеют коэффициенты 1/2 и 2/3. За шесть единиц по x первая прибавит 3, вторая 4. Следовательно, 2/3 больше 1/2. Обратите внимание: сравнивать отдельно числители 1 и 2 было бы неверно без учёта знаменателей.

Развилка «ошибка или верно»

Ученик сказал: «−1/3 больше −1/2, потому что 1/3 меньше 1/2». Вывод верен, но объяснение требует дополнения: при одинаковом положительном шаге первая функция убывает меньше по модулю. Приведение к знаменателю 6 подтверждает −2/6 > −3/6. Другой ученик утверждает, что 2/6 и 1/3 задают разные скорости. Это ошибка: дроби равны.

Алгоритм: (1) записать k₁ и k₂; (2) привести их к общему положительному знаменателю; (3) сравнить числители с их знаками; (4) при сомнениях взять шаг по x, равный общему знаменателю, и вычислить два приращения. Так легко проверить ответ обратным способом, не рисуя график.

Ступень 1 — уверенное сравнение

1. Даны прямые y = (2/3)x + 2 и y = (3/4)x − 3. Для x от 0 до 12 определите, у какой больше алгебраическое приращение; сравните k без десятичных приближений.
2. Заполните мысленно таблицу приращений для коэффициентов −1/2 и 1/4 при Δx = 4. Выберите знак k₁ − k₂ (плюс, минус, нуль) и объясните.
3. На одном графике k₁ = 5/6, на другом k₂ = 7/9. Ученик сравнил только числители исходных дробей. Проверьте его метод; вычислите Δy при Δx = 18.
4. Даны прямые y = (−3/5)x + 2 и y = (−2/5)x − 3. Для x от 0 до 5 определите, у какой больше алгебраическое приращение; сравните k без десятичных приближений.
5. Заполните мысленно таблицу приращений для коэффициентов 1/3 и 1/3 при Δx = 3. Выберите знак k₁ − k₂ (плюс, минус, нуль) и объясните.
6. На одном графике k₁ = −7/8, на другом k₂ = −3/4. Ученик сравнил только числители исходных дробей. Проверьте его метод; вычислите Δy при Δx = 8.

Ступень 2 — отрицательные коэффициенты и равенство дробей

7. Даны прямые y = (4/5)x + 2 и y = (5/4)x − 3. Для x от 0 до 20 определите, у какой больше алгебраическое приращение; сравните k без десятичных приближений.
8. Заполните мысленно таблицу приращений для коэффициентов −1/6 и 1/9 при Δx = 18. Выберите знак k₁ − k₂ (плюс, минус, нуль) и объясните.
9. На одном графике k₁ = 9/10, на другом k₂ = 8/9. Ученик сравнил только числители исходных дробей. Проверьте его метод; вычислите Δy при Δx = 90.
10. Даны прямые y = (−2/3)x + 2 и y = (−5/6)x − 3. Для x от 0 до 6 определите, у какой больше алгебраическое приращение; сравните k без десятичных приближений.
11. Заполните мысленно таблицу приращений для коэффициентов 3/8 и 1/2 при Δx = 8. Выберите знак k₁ − k₂ (плюс, минус, нуль) и объясните.
12. На одном графике k₁ = −4/7, на другом k₂ = −3/7. Ученик сравнил только числители исходных дробей. Проверьте его метод; вычислите Δy при Δx = 7.

Ступень 3 — смешанные знаки и близкие дроби

13. Даны прямые y = (5/12)x + 2 и y = (3/8)x − 3. Для x от 0 до 24 определите, у какой больше алгебраическое приращение; сравните k без десятичных приближений.
14. Заполните мысленно таблицу приращений для коэффициентов −2/9 и 0 при Δx = 9. Выберите знак k₁ − k₂ (плюс, минус, нуль) и объясните.
15. На одном графике k₁ = 11/12, на другом k₂ = 7/8. Ученик сравнил только числители исходных дробей. Проверьте его метод; вычислите Δy при Δx = 24.
16. Даны прямые y = (−5/12)x + 2 и y = (−1/3)x − 3. Для x от 0 до 12 определите, у какой больше алгебраическое приращение; сравните k без десятичных приближений.
17. Заполните мысленно таблицу приращений для коэффициентов 1/4 и −1/4 при Δx = 4. Выберите знак k₁ − k₂ (плюс, минус, нуль) и объясните.
18. На одном графике k₁ = 4/9, на другом k₂ = 5/12. Ученик сравнил только числители исходных дробей. Проверьте его метод; вычислите Δy при Δx = 36.

Сверка с эталонными решениями

• 1. После приведения к знаменателю 12: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12. Первое k меньше второго; при росте x на 12 единиц приращения равны 8 и 9.
• 2. После приведения к знаменателю 4: −1/2 = -2/4, 1/4 = 1/4. Первое k меньше второго; при росте x на 4 единиц приращения равны -2 и 1.
• 3. После приведения к знаменателю 18: 5/6 = 15/18, 7/9 = 14/18. Первое k больше второго; при росте x на 18 единиц приращения равны 15 и 14.
• 4. После приведения к знаменателю 5: −3/5 = -3/5, −2/5 = -2/5. Первое k меньше второго; при росте x на 5 единиц приращения равны -3 и -2.
• 5. После приведения к знаменателю 3: 1/3 = 1/3, 1/3 = 1/3. Первое k равно второго; при росте x на 3 единиц приращения равны 1 и 1. Это равные коэффициенты, несмотря на разные записи дробей.
• 6. После приведения к знаменателю 8: −7/8 = -7/8, −3/4 = -6/8. Первое k меньше второго; при росте x на 8 единиц приращения равны -7 и -6.
• 7. После приведения к знаменателю 20: 4/5 = 16/20, 5/4 = 25/20. Первое k меньше второго; при росте x на 20 единиц приращения равны 16 и 25.
• 8. После приведения к знаменателю 18: −1/6 = -3/18, 1/9 = 2/18. Первое k меньше второго; при росте x на 18 единиц приращения равны -3 и 2.
• 9. После приведения к знаменателю 90: 9/10 = 81/90, 8/9 = 80/90. Первое k больше второго; при росте x на 90 единиц приращения равны 81 и 80.
• 10. После приведения к знаменателю 6: −2/3 = -4/6, −5/6 = -5/6. Первое k больше второго; при росте x на 6 единиц приращения равны -4 и -5.
• 11. После приведения к знаменателю 8: 3/8 = 3/8, 1/2 = 4/8. Первое k меньше второго; при росте x на 8 единиц приращения равны 3 и 4.
• 12. После приведения к знаменателю 7: −4/7 = -4/7, −3/7 = -3/7. Первое k меньше второго; при росте x на 7 единиц приращения равны -4 и -3.
• 13. После приведения к знаменателю 24: 5/12 = 10/24, 3/8 = 9/24. Первое k больше второго; при росте x на 24 единиц приращения равны 10 и 9.
• 14. После приведения к знаменателю 9: −2/9 = -2/9, 0 = 0/9. Первое k меньше второго; при росте x на 9 единиц приращения равны -2 и 0.
• 15. После приведения к знаменателю 24: 11/12 = 22/24, 7/8 = 21/24. Первое k больше второго; при росте x на 24 единиц приращения равны 22 и 21.
• 16. После приведения к знаменателю 12: −5/12 = -5/12, −1/3 = -4/12. Первое k меньше второго; при росте x на 12 единиц приращения равны -5 и -4.
• 17. После приведения к знаменателю 4: 1/4 = 1/4, −1/4 = -1/4. Первое k больше второго; при росте x на 4 единиц приращения равны 1 и -1.
• 18. После приведения к знаменателю 36: 4/9 = 16/36, 5/12 = 15/36. Первое k больше второго; при росте x на 36 единиц приращения равны 16 и 15.

Самопроверка и исправление типичных ошибок

Если ошиблись в отрицательных дробях, начертите числовую прямую: −2/3 расположено левее −1/2. Если перепутали равные дроби, сократите их перед сравнением. Если сравнивали графики по значениям при x = 0, вернитесь к коэффициентам k: разные свободные члены не меняют наклон. Если использовали округления до десятых, попробуйте вместо них общий знаменатель — близкие дроби могут после округления выглядеть одинаково.

Разбор результата: 16–18 верных ответов — сравнение освоено; 12–15 — повторите отрицательные дроби; 8–11 — отработайте общий знаменатель; менее 8 — начните с трёх пар положительных дробей и объясните шаг на числовой прямой. Критерий здесь учебный, а не оценка за четверть.

Важное уточнение: если у первой функции k = −3/4, а у второй k = −1/4, то алгебраически −1/4 больше, но первая убывает сильнее по модулю. В задании нужно читать, что именно сравнивается: значение k, рост y либо величина убывания. Наши ответы в основном сравнивают алгебраические приращения при положительном шаге x.