Поиск пропущенного значения в таблице с дробным коэффициентом наклона: тренажёр для 7 класса

Математика · 7 класс · MATH-1334. Цель: заполнять табличные пропуски при дробном k и находить противоречащие графику данные. Задания выполняют на бумаге; подробные ответы даны после упражнений.

Это табличный практикум по восстановлению одной пропущенной ординаты при дробном k. В некоторых строках намеренно допущена ещё одна ошибка: задача требует не только вычисления, но и проверки согласованности таблицы. Сначала прочитайте исходные данные, затем восстановите пустую клетку, после чего сравните соседние приращения.

Как читать таблицу при дробном наклоне

Возьмём y = (3/4)x + 2. При x = −4 получим −1, при x = 0 получим 2, при x = 8 получим 8. При шаге от 0 до 8 величина y увеличилась на 6; это согласуется с (3/4) · 8 = 6. Если бы в последней клетке написали 9, ошибка обнаружилась бы без повторного пересчёта всей таблицы: приращение оказалось бы равным 7.

Правило проверки: для любых двух столбцов, где x₁ и x₂ различны, отношение (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) должно совпадать с заданным k. При x₁ = x₂ делить нельзя, но здесь все x в таблицах различны. Удобно выбирать x кратными знаменателю k: тогда ответы целые и не приходится приближать десятичные дроби.

Часть A. Заполните пропуск по известным k и b

1. Для функции y = 1/2x + 3 заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−4	0	4
   y	□	3	5

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

2. Для функции y = −2/3x + 5 заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−3	0	6
   y	7	5	□

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

3. Для функции y = 3/4x − 2 заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−4	0	8
   y	−5	□	4

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

4. Для функции y = −5/6x + 7 заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−6	0	12
   y	□	7	−3

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

5. Для функции y = 2/5x − 1 заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−5	0	10
   y	−3	−1	□

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

6. Дано y = −3/8x + 4. Определите пропуск и исправьте ещё одну неверную ячейку, которую ученик внёс в таблицу:
   

   x	−8	0	16
   y	7	□	−1

Часть B. Сверка соседних приращений

7. Для функции y = 5/3x − 3 заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−3	0	6
   y	□	−3	7

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

8. Для функции y = −1/4x − 5 заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−8	0	12
   y	−3	−5	□

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

9. Для функции y = 7/2x заполните клетку □ таблицы:
   

   x	−2	0	4
   y	□	0	14

   Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

10. Для функции y = −4/5x + 3 заполните клетку □ таблицы:
    

    x	−5	0	10
    y	7	□	−5

    Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

11. Дано y = 1/6x − 2. Определите пропуск и исправьте ещё одну неверную ячейку, которую ученик внёс в таблицу:
    

    x	−6	0	12
    y	−2	−2	□

12. Для функции y = −7/3x + 2 заполните клетку □ таблицы:
    

    x	−3	0	6
    y	9	□	−12

    Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

Часть C. Диагностика неверного числа

13. Для функции y = 3/5x + 6 заполните клетку □ таблицы:
    

    x	−5	0	10
    y	□	6	12

    Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

14. Для функции y = −5/4x − 4 заполните клетку □ таблицы:
    

    x	−4	0	8
    y	1	−4	□

    Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

15. Для функции y = 2/7x + 1 заполните клетку □ таблицы:
    

    x	−7	0	14
    y	−1	□	5

    Проверьте, что при x = 0 действительно получается b.

16. Дано y = −3/2x + 9. Определите пропуск и исправьте ещё одну неверную ячейку, которую ученик внёс в таблицу:
    

    x	−2	0	6
    y	□	10	0

Решения и исправления

• 1. При x = −4 получаем 1/2 · (−4) + (3) = 1. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом 1/2, а строка x = 0 даёт 3.
• 2. При x = 6 получаем −2/3 · (6) + (5) = 1. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом −2/3, а строка x = 0 даёт 5.
• 3. При x = 0 получаем 3/4 · (0) + (−2) = −2. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом 3/4, а строка x = 0 даёт −2.
• 4. При x = −6 получаем −5/6 · (−6) + (7) = 12. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом −5/6, а строка x = 0 даёт 7.
• 5. При x = 10 получаем 2/5 · (10) + (−1) = 3. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом 2/5, а строка x = 0 даёт −1.
• 6. Пропуск соответствует x = 0, поэтому y = −3/8 · (0) + (4) = 4. Ещё неверна запись при x = 16: там должно быть −2, а не −1. Разность значений при шаге Δx обязана равняться kΔx.
• 7. При x = −3 получаем 5/3 · (−3) + (−3) = −8. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом 5/3, а строка x = 0 даёт −3.
• 8. При x = 12 получаем −1/4 · (12) + (−5) = −8. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом −1/4, а строка x = 0 даёт −5.
• 9. При x = −2 получаем 7/2 · (−2) + (0) = −7. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом 7/2, а строка x = 0 даёт 0.
• 10. При x = 0 получаем −4/5 · (0) + (3) = 3. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом −4/5, а строка x = 0 даёт 3.
• 11. Пропуск соответствует x = 12, поэтому y = 1/6 · (12) + (−2) = 0. Ещё неверна запись при x = −6: там должно быть −3, а не −2. Разность значений при шаге Δx обязана равняться kΔx.
• 12. При x = 0 получаем −7/3 · (0) + (2) = 2. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом −7/3, а строка x = 0 даёт 2.
• 13. При x = −5 получаем 3/5 · (−5) + (6) = 3. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом 3/5, а строка x = 0 даёт 6.
• 14. При x = 8 получаем −5/4 · (8) + (−4) = −14. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом −5/4, а строка x = 0 даёт −4.
• 15. При x = 0 получаем 2/7 · (0) + (1) = 1. Остальные столбцы согласованы с тем же дробным коэффициентом 2/7, а строка x = 0 даёт 1.
• 16. Пропуск соответствует x = −2, поэтому y = −3/2 · (−2) + (9) = 12. Ещё неверна запись при x = 0: там должно быть 9, а не 10. Разность значений при шаге Δx обязана равняться kΔx.

Самостоятельная обратная проверка

После вычисления пустого значения возьмите любую другую заполненную клетку. Вычислите Δx и Δy между двумя столбцами и убедитесь, что Δy = kΔx. Такая проверка особенно полезна для отрицательного дробного k: при положительном шаге x значение y обязательно уменьшается. Если вычисление показывает увеличение, вероятнее всего потерян минус.

Проверка каждой таблицы не означает, что достаточно найти красивую арифметическую закономерность. Линейная связь должна выдерживать один и тот же коэффициент k на всех промежутках. Свободный член b фиксирует столбец с x = 0, а дробный коэффициент задаёт приращения. Именно эти две независимые проверки позволяют доказательно находить ошибку.

Рабочая отметка

За каждую правильно восстановленную клетку — 1 балл; в заданиях 6, 11, 16 дополнительный балл за найденную ложную запись. Максимум 19 баллов. Если допущены ошибки, сначала повторите работу со знаком k; если значение при x = 0 отличается от b, перепроверьте свободный член уравнения.