Поиск пропущенного значения в таблице по графику тарифного плана — упражнения разной сложности, 7 класс

Математика · 7 класс · MATH-1335. Цель: восстанавливать пропущенную стоимость по графику линейного тарифного плана и проверять ответы обратным вычислением. Задания выполняют на бумаге; подробные ответы даны после упражнений.

Представьте пункт проката оборудования: стоимость зависит от числа часов, а часть суммы взимается один раз при оформлении. На оси x — оплаченные часы, на оси y — итоговая стоимость в тенге. В отличие от обычного примера с готовой формулой, здесь сначала нужно прочитать по графику тарифного плана несколько точек, восстановить наклон и только после этого заполнять пропуски таблицы.

Исходный график двух тарифов

Обе прямые изображают линейные модели: Тариф А: y = 80 + 20x и тариф Б: y = 140 + 10x. Это учебные условные цены, не коммерческое предложение. Для практических вычислений используйте неотрицательные значения x и считайте часы целыми. Два характерных значения на прямой задают ставку: разность двух цен нужно разделить на разность часов.

Разобранный пример и обратная проверка

По графику видно, что для тарифа А точка (0; 80) лежит на оси Oy, а точка (3; 140) расположена выше. Разность цен 140 − 80 = 60 ₸ относится к трём часам. Поэтому ставка k = 60 : 3 = 20 ₸/ч. При x = 5 сумма равна 80 + 20 · 5 = 180 ₸. Обратная проверка: (180 − 80) : 5 = 20 ₸/ч. Если вместо 180 ученик написал 100, он забыл фиксированный платёж.

Таблица с пропусками

Две цены можно сравнивать только для одного и того же количества часов. При x = 6 стоимость совпадает, но до этой точки дешевле А, а после — Б. Таблица позволяет подтвердить пересечение графиков; если в строке указана сумма ниже фиксированного платежа при x ≥ 0, запись заведомо ошибочна.

Первый блок — чтение графика и заполнение таблицы

1. Найдите на графике плату по тарифу А при x = 0. Почему это не стоимость одного часа?
2. Считайте с графика стоимость А за 3 часа. Покажите проверку формулой.
3. Восстановите пустую клетку для Б при 6 часах, если известны значения (0; 140) и (8; 220).
4. За сколько часов цена тарифа А станет равной 200 ₸?
5. Какая ставка в тенге за час следует из двух точек графика А: (0; 80) и (8; 240)?
6. В таблице Б пропущена стоимость при 4 часах. Восстановите её по графику.

Второй блок — сравнение тарифов и исправление ошибок

7. Найдите координаты пересечения линий тарифов и объясните, что они означают.
8. Какой тариф дешевле при 2 часах? Укажите разницу.
9. Какой тариф дешевле при 8 часах и на сколько?
10. Проверьте запись ученика: «По тарифу А за 5 часов 100 ₸». Где ошибка?

Третий блок — новые графики, заданные двумя точками

11. В изменённом тарифе В фиксированная плата 60 ₸ и 15 ₸ за час. Каким должен быть пропуск стоимости при 4 часах?
12. Тариф Г проходит через точки (0; 95) и (5; 170). Найдите недостающее значение в таблице при 3 часах.
13. Тариф Д записан точками (0; 30) и (6; 150). Ученик поставил при 2 часах 50 ₸. Исправьте.
14. Для тарифа Е известны точки (2; 90) и (4; 130). Найдите свободный член и пропуск y при x = 0.
15. Известно, что тариф Ж стоит 150 ₸ за 3 часа при ставке 25 ₸/ч. Определите пропущенное y при 1 часе.

Последний блок — смысл и допустимые значения

16. Почему нельзя просто соединить точки при x = −2 и x = 1, чтобы оценить отрицательное число часов?
17. Проверка разумности: может ли при тарифе А таблица содержать для x = 7 значение 150 ₸?

Подробные ответы и обратная проверка

• 1. 80 ₸. Это фиксированная начальная плата; даже при нулевом числе часов стоимость не обнуляется.
• 2. 140 ₸: 80 + 20 · 3 = 140. На графике точка А(3; 140).
• 3. 200 ₸. За восемь часов прибавилось 80 ₸, ставка 10 ₸/ч; 140 + 10 · 6 = 200.
• 4. 6 ч: 80 + 20x = 200, откуда x = 6. Проверка: 80 + 120 = 200.
• 5. 20 ₸/ч: (240 − 80) : 8 = 20. Это наклон прямой, а не её пересечение с Oy.
• 6. 180 ₸: 140 + 10 · 4 = 180.
• 7. (6; 200): 80 + 20x = 140 + 10x, значит 10x = 60, x = 6 и y = 200 ₸. При шести часах стоимость одинакова.
• 8. А: 120 ₸ против 160 ₸ у Б; разница 40 ₸. До шести часов стартовый тариф А дешевле.
• 9. Б: 220 ₸ против 240 ₸ у А; разница 20 ₸. После пересечения меньший наклон Б выгоднее.
• 10. Неверно: 80 + 20 · 5 = 180 ₸. Ученик учёл только переменную часть 20 · 5 и потерял фиксированные 80 ₸.
• 11. 120 ₸: 60 + 15 · 4 = 120. Обратная проверка: (120 − 60) : 4 = 15 ₸/ч.
• 12. 140 ₸: ставка (170 − 95) : 5 = 15 ₸/ч, стоимость 95 + 15 · 3 = 140.
• 13. 70 ₸: ставка (150 − 30) : 6 = 20 ₸/ч, значит 30 + 20 · 2 = 70, а не 50.
• 14. Ставка (130 − 90) : 2 = 20; b = 90 − 20 · 2 = 50 ₸. В таблице при x = 0 должно быть 50 ₸.
• 15. Фиксированная плата b = 150 − 25 · 3 = 75. За час y = 75 + 25 = 100 ₸.
• 16. Отрицательное число часов в данной ситуации не имеет смысла. Модель изучается при x ≥ 0, обычно при целом числе оплачиваемых часов; значение формулы при x < 0 не является допустимым тарифом.
• 17. Нет. y = 80 + 20 · 7 = 220 ₸; кроме того, при x = 7 цена должна быть больше, чем при x = 6 (200 ₸), так как ставка положительна.

Как надёжно восстановить ставку из рисунка

На графике тарифного плана легко перепутать цену за час и полную оплату. Цена за час — это наклон прямой, то есть изменение общей стоимости при увеличении времени на единицу. Полная оплата при x = 0 равна фиксированному взносу, обозначенному буквой b. Для тарифа А пересечение с осью Oy находится на уровне 80 ₸. Если взять на этой же прямой отмеченную точку (6; 200), то разность по вертикали будет 200 − 80 = 120 ₸, а по горизонтали 6 − 0 = 6 часов. Деление 120 : 6 даёт ставку 20 ₸/ч. Аналогичная проверка тарифа Б по точкам (0; 140) и (6; 200) даёт 60 : 6 = 10 ₸/ч.

Теперь представьте, что некая клетка закрыта листочком, а у соседних строк времени нет одинакового шага. Выберите любые две открытые точки, например для Б (2; 160) и (8; 220). Разница между ценами составляет 60 ₸, но прошло не два и не восемь, а ровно шесть часов. Поэтому k = 60 : 6 = 10. Чтобы восстановить пропуск при x = 5, вернитесь к базовому платежу: 140 + 10 · 5 = 190 ₸. Затем выполните обратную проверку по другой точке: между x = 5 и x = 8 три часа, цена растёт на 30 ₸, то есть опять на 10 ₸ за час.

Почему таблица и график обязаны согласовываться

Если ставка постоянна, все точки лежат на прямой. Например, три значения тарифа А при x = 2, x = 4 и x = 6 составляют 120, 160 и 200 ₸. Между соседними значениями времени проходит по два часа, а стоимость растёт на 40 ₸. Если же кто-то запишет вместо 160 значение 170, одинаковая ставка исчезнет: на первом промежутке прирост станет 50 ₸, на втором 30 ₸. Такая таблица уже не соответствует изображённой прямой. Это позволяет находить неверную клетку даже тогда, когда все значения положительны и на первый взгляд выглядят правдоподобно.

Пропуски для новых тарифов В, Г, Д, Е и Ж решаются тем же способом, но их числа не берутся с рисунка тарифов А и Б. Для них исходные точки и ставки перечислены непосредственно в заданиях. Нельзя механически переносить 80 ₸ или 140 ₸ на другую модель: каждое значение b нужно устанавливать заново. Разделите лист на две зоны — сначала записывайте исходные данные именно выбранного тарифа, затем вычисляйте неизвестное. Это защищает от случайного смешения разных прямых.

Что делать при расхождении с графиком

Если найденная сумма не лежит на изображённой прямой, проверьте масштаб осей и исходную фиксированную плату b. Если разность цен между соседними часами меняется, значит неверно считали точки или перепутали тарифные линии. График линейного тарифа должен быть прямой, потому что за каждый дополнительный час прибавляется одинаковая сумма. Обратный расчёт ставки по любой паре точек помогает найти даже ошибку в одной клетке.

Не перепутайте задачи на пропущенное число и на выбор более дешёвого тарифа: сначала восстановите неизвестное значение y, а только затем сравнивайте строки. При чтении готового графика числа могут быть приблизительными, но в этой учебной модели точки и шаги на сетке выбраны так, чтобы вычисления давали точные целые значения.