Восстановление угла по нескольким условиям с двумя парами параллельных прямых — математический практикум для 7 класса

Рабочий лист: две пары параллельных

Цель. Восстановить неизвестный угол, соединяя равенство соответственных углов, смежность и уравнение. Лист предназначен для печати: сначала выдаются задания, затем отдельный ключ учителю.

Текстовая схема, общая для всех задач: горизонтальные прямые a ∥ b (a выше b), наклонные прямые c ∥ d (обе поднимаются вправо). Точки пересечения P = a ∩ c, Q = a ∩ d, R = b ∩ c, S = b ∩ d. В каждом пересечении угол между лучом вправо по горизонтали и лучом вверх-вправо по наклонной обозначим α (острый); смежный угол β (тупой).

Памятка перед печатью

Параллельность двух горизонталей и одновременно двух наклонных позволяет переносить угол между любыми их пересечениями. Поэтому четыре угла вида α равны, четыре угла вида β тоже равны, а α + β = 180°. Важно: это утверждение работает потому, что даны обе пары параллельных. Если оставить только a ∥ b, равенство углов при P и Q уже не гарантируется.

Если записаны выражения с x, сначала установите, сравниваются ли два одинаковых типа угла (тогда они равны) или острый и тупой (тогда их сумма 180°). После решения уравнения проверьте, что полученный α действительно острый, β действительно тупой и условие верно в каждой точке.

Вариант А — 9 задач

Запишите ход вычисления. В заданиях 5–9 недостаточно одного числового ответа: покажите составленное равенство.

1. Острый угол при P равен 38°. Найдите тупой угол при S.
2. Тупой угол при Q равен 127°. Каков острый при R?
3. Тупой угол при S больше острого при P на 52°. Найдите оба.
4. Тупой угол при R на 27° больше удвоенного острого при Q. Найдите острый.
5. Острый угол при P равен (2x + 11)°, а острый при S — (4x − 31)°. Определите x и угол.
6. Тупой угол при Q равен (3x + 16)°, острый при R — (x + 24)°. Найдите x и α.
7. При P острый равен (x + 19)°, при S тупой — (2x + 38)°. Найдите оба угла.
8. Отношение острого при Q к тупому при R равно 4 : 5. Найдите эти углы.
9. Тупые углы при P и R равны (5x − 5)° и (3x + 37)°. Найдите x, острый угол при S.

Вариант Б — 9 задач

Числовые данные изменены. Не используйте ответы предыдущего варианта: перерисуйте схему с теми же обозначениями P, Q, R, S.

1. Острый угол при R равен 47°. Чему равен тупой при P?
2. Тупой угол при S равен 144°. Определите острый при Q.
3. Разность тупого и острого углов равна 78°. Найдите их.
4. Тупой угол при P на 12° меньше тройного острого при R. Найдите α и β.
5. Острые углы при P и S равны (5x − 13)° и (2x + 35)°. Найдите x и α.
6. Тупой угол при Q равен (3x + 22)°, острый при S — (2x − 2)°. Найдите x.
7. Острый при R равен (x + 6)°, тупой при P равен (4x − 1)°. Найдите α и β.
8. Отношение острого при P к тупому при S равно 3 : 7. Найдите каждый угол.
9. Тупой при P равен (2x + 42)°, а при S — (4x − 18)°. Найдите острый при Q.

Ключ и подробная проверка для учителя

Ответы к варианту А

1. 142°: это угол, смежный с 38°, поэтому 180° − 38° = 142°.
2. 53°: 180° − 127° = 53°; острые углы при всех четырёх вершинах равны.
3. 64° и 116°: обозначим острый α; 180 − 2α = 52, откуда α = 64.
4. 51°: 180 − α = 2α + 27, значит 3α = 153.
5. x = 21, α = 53°: равные острые дают 2x + 11 = 4x − 31.
6. x = 35, α = 59°: (3x + 16) + (x + 24) = 180.
7. x = 41, α = 60°, β = 120°: 3x + 57 = 180.
8. 80° и 100°: всего девять долей на 180°, доля 20°.
9. x = 21, β = 100°, α = 80°: приравняли тупые углы.

Ответы к варианту Б

1. 133° = 180° − 47°.
2. 36° = 180° − 144°.
3. 51° и 129°: 180 − 2α = 78.
4. α = 48°, β = 132°: 180 − α = 3α − 12.
5. x = 16, α = 67°: 5x − 13 = 2x + 35.
6. x = 32: сумма 5x + 20 = 180; при этом углы 118° и 62°.
7. x = 35, α = 41°, β = 139°: 5x + 5 = 180.
8. 54° и 126°: сумма десяти долей равна 180°.
9. x = 30, β = 102°, α = 78°: 2x + 42 = 4x − 18.

Контроль смысла. В задаче А6 нельзя просто приравнять выражения: дан тупой угол и острый; здесь нужна сумма 180°. В задаче Б5, наоборот, оба угла острые, поэтому используется равенство. В задании Б9 угол 102° получается при двух разных вершинах не случайно: c ∥ d и a ∥ b.

Как проверить свою запись без подсказки из ключа

После вычисления возьмите ровно два угла: первый при P, второй при S. Если оба острые, их меры должны быть одинаковыми. Если один острый, а другой тупой, их сумма должна быть 180°. Эти два испытания полезнее простого сравнения с ответом, поскольку обнаруживают ошибку уже на этапе выбора уравнения. Например, выражения 3x + 16 и x + 24 из шестого задания варианта А нельзя приравнивать: получившийся x не описывал бы настоящую пару смежных углов.

Отдельно оцените невозможные числа. Значение α = 112° противоречит самому слову «острый», даже если формально удовлетворяет случайно составленному уравнению. Точно так же β = 75° не может быть тупым углом. Если в промежуточном решении вышло одно из этих значений, следует заново определить вид каждого угла, а не просто заменить число его дополнением.

Для самостоятельной самопроверки полезно закрыть текст объяснения и проговорить: «Где использована параллельность a и b? Где использована параллельность c и d? Где использована смежность?» Если не удаётся указать, какую из трёх связей вы применили, решение пока недостаточно обосновано.