Проверка параллельности по углам при неизвестном значении переменной — самостоятельная работа, 7 класс

Прикладная самостоятельная работа: монтаж направляющих

Школьная мастерская собирает демонстрационный стенд из шести секций. В каждой секции две прямые направляющие l и m пересечены одним прямым наклонным стержнем t. У верхнего пересечения справа от стержня отмечен внутренний угол θ, у нижнего справа — внутренний φ. Мастер должен убедиться, что направляющие действительно параллельны. Обе формулы для углов зависят от общей настройки прибора x.

В одной секции значение x может вычисляться из условия параллельности, но затем найденное число нужно подставить во все секции. Нельзя подбирать новое x для каждой пары так, словно прибор автоматически меняет положение: тогда исчезла бы общая задача настройки. Данные условные; транспортиром углы здесь не измеряются.

Исходные данные стенда

Математическая модель: секция удовлетворяет условию параллельности, если θ + φ = 180°, причём оба угла строго между 0° и 180°. Все выражения понимаются в градусах. Варианты решения: по сумме внутренних односторонних углов или через внешний смежный угол при нижнем пересечении.

Связанные задания по таблице: 12 шагов

1. По измерительной схеме S1 определите общую настройку x, если направляющие действительно параллельны.
2. При найденном x найдите два угла S2 и укажите признак.
3. В S3 углы выражаются числами 4x + 10 и x + 70. Проверьте равенство обеих величин при x = 20.
4. Найдите два внутренних угла S4 при x = 20. Можно ли считать эту пару направляющих параллельной?
5. Проверьте S5 по той же общей настройке x.
6. Вычислите θ и φ для S6 и объясните, почему один угол тупой.
7. Перечислите все секции, в которых параллельность подтверждена при общем x.
8. Для S4 оставьте верхний угол 68°. Какой нижний угол обеспечил бы параллельность?
9. Для S4 оставьте нижний угол 108°. Какой верхний обеспечил бы параллельность?
10. Какое x сделало бы S4 параллельной само по себе? Почему эту настройку нельзя применять ко всем секциям?
11. Если по ошибке установить x = 18, можно ли доказать параллельность S1?
12. Предложение мастера: «Оставим общую настройку x = 20 и поправим только нижний угол S4 до 112°». Оцените.

Проверка разумности и решения

Сначала вычисляется x по S1. Только после этого проверяются остальные пять секций. Самая важная диагностическая точка — S4: несовпадение на 4° не следует округлять до идеальной геометрии, поскольку условия заданы без погрешности.

1. (2x + 24) + (3x + 56) = 180; 5x = 100; x = 20.
2. θ = 78°, φ = 102°; сумма 180°, направляющие S2 параллельны.
3. 90° и 90°; сумма 180°, направляющие S3 параллельны.
4. 68° и 108°, сумма 176°. Нет, необходимое условие нарушено.
5. 90° и 90°; сумма 180°, параллельны.
6. 98° и 82°. Их сумма 180°; наклон секущей даёт один тупой и один острый угол.
7. S1, S2, S3, S5 и S6. S4 не соответствует условию.
8. 112° = 180° − 68°; текущий 108°, требуется увеличение на 4°.
9. 72° = 180° − 108°; текущий 68°, требуется увеличение на 4°.
10. (x + 48) + (4x + 28) = 180; 5x = 104, x = 20,8. Но S1 требует x = 20.
11. Нет: θ = 60°, φ = 110°, сумма 170°; отклонение 10°.
12. Корректно в математической модели: для S4 68° + 112° = 180°, остальные секции не затронуты. На практике потребуется изменить конструкцию S4.

Вывод для мастера: «При общей настройке x = 20 правильными являются пять пар направляющих; шестую нужно исправить отдельно». Прежде чем сделать вывод в реальном измерении, мастер дополнительно проверит, действительно ли каждый стержень прямой, не сместились ли основания и какая погрешность у прибора. Алгебраическое равенство не заменяет качество физической разметки.

Разбор одной ошибочной настройки прибора

Представим, что помощник мастера сразу подставил x = 18, потому что такое число было указано на черновом чертеже. Для секции S1 он получил верхний угол 2·18 + 24 = 60°, а нижний 3·18 + 56 = 110°. Сумма равна 170°, поэтому линии нельзя считать параллельными. Чтобы восстановить правильную настройку, нужно не переставлять неизвестные наугад, а составить требуемое равенство суммы внутренних односторонних углов: 2x + 24 + 3x + 56 = 180. Это даёт x = 20.

Теперь проверим, что произошло бы, если кто-то подбирал x только по секции S4: её условие даёт x = 20,8. Тогда S1 имела бы θ = 65,6°, φ = 118,4° и сумму 184°, а значит, уже не соответствовала бы требованию. Такая проверка показывает математическую причину невозможности одновременно исправить все секции одной общей ручкой настройки.

Как записать вывод в отчёте по стенду

Отчёт не должен ограничиваться словами «пять правильно, одна неправильно». Нужно перечислить вычисленные углы для каждой секции и обозначить, какая пара нарушает критерий. Например, запись S4: 68° + 108° = 176° сразу показывает, что до требуемой суммы недостаёт 4°. Это число говорит о необходимой корректировке одного угла при неизменном другом, но ещё не указывает, как именно механически передвинуть направляющую: физическая регулировка — отдельная задача.

Если бы углы снимались реальным прибором, любой результат имел бы погрешность. В этой учебной модели формулы точные, поэтому «почти 180°» недостаточно. Нельзя молча считать 176° равным 180°. Однако на настоящем стенде пришлось бы заранее договориться о допуске и проверить, какая секция допускает возможное отклонение. Это важное различие между строгой математической моделью и инженерным измерением.

Дополнительный вопрос учителю: почему для секции S3 два прямых внутренних односторонних угла вполне допустимы? Потому что при 90° и 90° каждая направляющая перпендикулярна общей секущей; две прямые, перпендикулярные одной прямой в плоскости, параллельны. Этот частный случай не исключение из правила, а его удобная проверка.

Для самостоятельного оформления результата оставьте возле каждой секции три строки: значения θ и φ, их сумма, затем вывод о параллельности. Такой порядок помогает учителю отличить ошибку в подстановке от ошибки в применении геометрического признака.