Проверка параллельности отрезков при совпадающих абсциссах: проверочная работа по математике, 9 класс

Проверочная работа, 9 класс. Упражнения посвящены совпадающим абсциссам концов отрезка и корректной проверке вертикального направления. Выполните задания 1–12, затем восстановите пропущенную абсциссу в задачах 13–16.

Базовый пример и обратная проверка

Для A(2;−3), B(2;5) разность абсцисс равна 0, но Δy=8≠0: AB — вертикальный ненулевой отрезок. Для C(−4;1), D(−4;9) аналогично: CD вертикален и ненулевой, значит их несущие прямые параллельны или совпадают. Но для C(−4;1), D(−4;1) отрезок вырожден в точку: нельзя приписывать ему направление.

Задания на проверку двух отрезков

1. Задание 1. Отрезок AB: A(3; −5), B(3; 4); отрезок CD: C(−2; 1), D(−2; 6). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
2. Задание 2. Отрезок AB: A(−2; 0), B(−2; 7); отрезок CD: C(8; −4), D(9; 2). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
3. Задание 3. Отрезок AB: A(0; −3), B(0; 6); отрезок CD: C(0; 1), D(0; −5). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
4. Задание 4. Отрезок AB: A(5; 2), B(5; 11); отрезок CD: C(−3; −7), D(−3; 9). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
5. Задание 5. Отрезок AB: A(−8; 1), B(−8; 4); отрезок CD: C(6; 0), D(7; 3). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
6. Задание 6. Отрезок AB: A(2; 5), B(2; −1); отрезок CD: C(−2; 9), D(−2; 9). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
7. Задание 7. Отрезок AB: A(7; 0), B(7; 10); отрезок CD: C(7; −2), D(7; −9). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
8. Задание 8. Отрезок AB: A(1; −8), B(1; 6); отрезок CD: C(4; 6), D(4; −1). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
9. Задание 9. Отрезок AB: A(−3; −5), B(−3; 2); отрезок CD: C(−3; 9), D(−2; 8). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
10. Задание 10. Отрезок AB: A(8; 1), B(8; 5); отрезок CD: C(8; 9), D(8; −2). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
11. Задание 11. Отрезок AB: A(0; 0), B(0; 9); отрезок CD: C(3; 2), D(3; 2). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.
12. Задание 12. Отрезок AB: A(4; 2), B(4; −6); отрезок CD: C(4; 7), D(4; 2). Установите параллельность, отдельно проверьте ненулевую длину каждого отрезка. Дайте обоснование без углового коэффициента.

Обратные задачи — неизвестная абсцисса

1. Задание 13. A(6; −2), B(6; 5), C(−3; 4), D(t; 7). Найдите все t, при которых ненулевые AB и CD параллельны. Проверьте найденное значение.
2. Задание 14. A(−5; 1), B(−5; 8), C(2; −1), D(t; 4). Найдите все t, при которых ненулевые AB и CD параллельны. Проверьте найденное значение.
3. Задание 15. A(0; −7), B(0; 3), C(9; 1), D(t; −8). Найдите все t, при которых ненулевые AB и CD параллельны. Проверьте найденное значение.
4. Задание 16. A(4; 3), B(4; −6), C(−2; 4), D(t; 12). Найдите все t, при которых ненулевые AB и CD параллельны. Проверьте найденное значение.

Ключ 1–12: вертикальность, наклон и нулевые отрезки

1. 1. AB=(0; 9), CD=(0; 5). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Параллельны: обе вертикальны и ненулевые. Проверка определителем: 0·5−9·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
2. 2. AB=(0; 7), CD=(1; 6). Δx_AB=0; Δx_CD=1. Не параллельны: CD не вертикален. Проверка определителем: 0·6−7·1=−7; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
3. 3. AB=(0; 9), CD=(0; −6). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Параллельны: обе вертикальны и ненулевые. Проверка определителем: 0·−6−9·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
4. 4. AB=(0; 9), CD=(0; 16). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Параллельны: обе вертикальны и ненулевые. Проверка определителем: 0·16−9·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
5. 5. AB=(0; 3), CD=(1; 3). Δx_AB=0; Δx_CD=1. Не параллельны: CD не вертикален. Проверка определителем: 0·3−3·1=−3; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
6. 6. AB=(0; −6), CD=(0; 0). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Нельзя говорить о параллельности: CD имеет нулевую длину, не задаёт направления. Проверка определителем: 0·0−−6·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
7. 7. AB=(0; 10), CD=(0; −7). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Параллельны: обе вертикальны и ненулевые. Проверка определителем: 0·−7−10·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
8. 8. AB=(0; 14), CD=(0; −7). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Параллельны: обе вертикальны и ненулевые. Проверка определителем: 0·−7−14·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
9. 9. AB=(0; 7), CD=(1; −1). Δx_AB=0; Δx_CD=1. Не параллельны: CD не вертикален. Проверка определителем: 0·−1−7·1=−7; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
10. 10. AB=(0; 4), CD=(0; −11). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Параллельны: обе вертикальны и ненулевые. Проверка определителем: 0·−11−4·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
11. 11. AB=(0; 9), CD=(0; 0). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Нельзя говорить о параллельности: CD имеет нулевую длину, не задаёт направления. Проверка определителем: 0·0−9·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.
12. 12. AB=(0; −8), CD=(0; −5). Δx_AB=0; Δx_CD=0. Параллельны: обе вертикальны и ненулевые. Проверка определителем: 0·−5−−8·0=0; нулевой определитель имеет смысл только для двух ненулевых направляющих векторов.

Ключ 13–16: восстановление параметра

1. 13. AB вертикален, поэтому для CD требуется t=x_C=−3. Тогда D(−3; 7), CD=(0;3) ненулевой (так как 7≠4). Проверка: обе разности абсцисс равны нулю.
2. 14. AB вертикален, поэтому для CD требуется t=x_C=2. Тогда D(2; 4), CD=(0;5) ненулевой (так как 4≠−1). Проверка: обе разности абсцисс равны нулю.
3. 15. AB вертикален, поэтому для CD требуется t=x_C=9. Тогда D(9; −8), CD=(0;−9) ненулевой (так как −8≠1). Проверка: обе разности абсцисс равны нулю.
4. 16. AB вертикален, поэтому для CD требуется t=x_C=−2. Тогда D(−2; 12), CD=(0;8) ненулевой (так как 12≠4). Проверка: обе разности абсцисс равны нулю.

Диагностика ошибки

Распространённая ошибка — писать k=(y_B−y_A)/(x_B−x_A) для двух точек с одинаковым x. Делить на ноль нельзя. Другая ошибка — считать совпадающие точки A=B «отрезком, параллельным любой прямой». Нулевая длина не задаёт направления; прежде чем сравнивать параллельность, обязательно убедитесь, что концы каждого отрезка различны.

Самопроверка: выделите случаи, где определитель двух направляющих векторов равен нулю, но один вектор тоже нулевой. Именно там проверка одним определителем дала бы ложноположительный результат. В критериях всегда нужны оба условия: ненулевые векторы и нулевой определитель.