Нахождение неизвестного коэффициента для противоположно направленных векторов — проверочная работа по математике, 9 класс

Класс: 9. Тема: Коэффициент пропорциональности противоположно направленных векторов

Мини-тест: что означает «противоположно направлены»?

Ненулевые векторы a и b противоположно направлены тогда и только тогда, когда b = k·a при k < 0. Коллинеарности недостаточно: при k > 0 направления совпадают. Нулевой вектор направления не имеет. Проверять найденный коэффициент следует по обеим координатам, а не только по одной.

Тест рассчитан на 12 вопросов по 1 баллу. В ответе запишите коэффициент или объясните, почему его не существует. При отрицательном коэффициенте укажите это явно; один лишь модуль числа не показывает направление.

1. Для a = (2; −3), b = (−6; 9) найдите k в b = k·a и определите направление.
2. a = (4; 0), b = (−10; 0). Найдите коэффициент и объясните, почему нулевая вторая координата не мешает.
3. a = (−3; 5), b = (9; −15). Верно ли, что они направлены противоположно?
4. a = (0; 4), b = (0; −12). Найдите k.
5. a = (2; 2), b = (−6; −5). Может ли один отрицательный коэффициент перевести a в b?
6. a = (0; 0), b = (3; −6). Можно ли говорить о противоположных направлениях?
7. a = (2; −1), b = (6; −3). Почему отрицательный коэффициент не подходит?
8. a = (−4; −2), b = (2; 1). Вычислите k.
9. a = (5; 2), b = (−15; −6). Ученик написал k = 3. Исправьте.
10. a = (1; 0), b = (0; −2). Коллинеарны ли векторы?
11. a = (−2; 7), b = (4; −14). Найдите k и отношение модулей |b|/|a|.
12. Если |b| = 3|a| и ненулевые a, b противоположно направлены, чему равен k в b = k·a?

Ответы с объяснениями

Сопоставляйте ответы не только по числу, но и по логике. Ошибку в одном знаке нужно исправить, даже если модуль коэффициента найден верно.

1. k = −3: обе координаты умножены на −3, поэтому направления противоположные.
2. k = −10/4 = −5/2. Проверка второй координаты: 0 = (−5/2)·0. Оба вектора ненулевые.
3. Да, k = −3: (−3)·(−3; 5) = (9; −15).
4. k = −3; направление определено, поскольку каждый вектор ненулевой.
5. Нет: отношения первых координат −3, вторых −5/2. Определитель 2·(−5) − 2·(−6) = 2 ≠ 0.
6. Нельзя: нулевой вектор не имеет направления, уравнение b = k·a не выполнится ни для одного k.
7. k = 3 > 0: векторы направлены одинаково, а не противоположно.
8. k = −1/2; проверка обеих координат даёт (2; 1).
9. Нужен k = −3; неверный знак приводит к (15; 6), а не к заданному b.
10. Нет: det(a, b) = −2, следовательно, единого k нет.
11. k = −2, а |b|/|a| = 2. Отношение длин положительно и не содержит информации о знаке k.
12. k = −3. Указание «противоположно» выбирает отрицательный знак, который длины не определяют.

Баллы и разбор спорных решений

10–12 баллов — навык сформирован; 7–9 — повторите проверку двух координат; 4–6 — отдельно потренируйте отрицательные коэффициенты; 0–3 — вернитесь к определению ненулевого направленного отрезка. Наибольший риск в заданиях 5, 6 и 10: знак одного отношения, нулевой вектор и перпендикулярные направления не позволяют автоматически утверждать противоположность.

Как проверить себя

Контрольные три шага: a и b ненулевые; по каждой ненулевой координате вычисляется один и тот же k; для противоположного направления необходимо k < 0. Никакая одна только длина без указания направления этого знака не заменяет.