Сравнение направлений векторов при заданной длине и одном компоненте — математический практикум для 9 класса

Класс: 9. Тема: Сравнение направлений при известной длине и одной координате

Сначала три контрольных вопроса

Зная длину L и абсциссу x вектора, можно вычислить y² = L² − x², но обычно нельзя узнать знак y. Поэтому направление может оставаться неопределённым. Два ненулевых вектора сонаправлены при положительном коэффициенте пропорциональности; противоположно направлены при отрицательном. Если данные допускают несколько вариантов, честный ответ — «недостаточно сведений».

В каждой задаче указаны длина, x-компонент и иногда знак y-компонента для векторов a, b. Запись «?» означает, что знак y не задан. Подберите допустимые y, проверьте определитель и знак коэффициента.

Диагностика из 12 вопросов

Первые три пункта — контрольные. В последующих есть примеры, где не хватает знака, и намеренно невозможный набор данных. Нельзя выбирать удобный знак вместо того, чтобы исследовать обе возможности.

1. |a| = 5, aₓ = 3, знак aᵧ: +; |b| = 10, bₓ = 6, знак bᵧ: +.
2. |a| = 13, aₓ = 5, знак aᵧ: +; |b| = 26, bₓ = -10, знак bᵧ: -.
3. |a| = 17, aₓ = 8, знак aᵧ: +; |b| = 25, bₓ = 7, знак bᵧ: +.
4. |a| = 10, aₓ = 6, знак aᵧ: +; |b| = 20, bₓ = 12, знак bᵧ: ?.
5. |a| = 29, aₓ = 20, знак aᵧ: -; |b| = 58, bₓ = -40, знак bᵧ: +.
6. |a| = 25, aₓ = 7, знак aᵧ: ?; |b| = 50, bₓ = 14, знак bᵧ: ?.
7. |a| = 13, aₓ = 12, знак aᵧ: -; |b| = 13, bₓ = 12, знак bᵧ: -.
8. |a| = 13, aₓ = 12, знак aᵧ: +; |b| = 13, bₓ = -12, знак bᵧ: -.
9. |a| = 17, aₓ = 8, знак aᵧ: +; |b| = 17, bₓ = 8, знак bᵧ: -.
10. |a| = 5, aₓ = 7, знак aᵧ: ?; |b| = 13, bₓ = 5, знак bᵧ: +.
11. |a| = 15, aₓ = 9, знак aᵧ: ?; |b| = 30, bₓ = -18, знак bᵧ: ?.
12. |a| = 10, aₓ = 8, знак aᵧ: +; |b| = 25, bₓ = 15, знак bᵧ: +.

Ключ и краткие доказательства

При проверке нельзя сравнивать только длины: равная длина допускает много направлений. Знак одного компонента также не всегда определяет положение второго.

1. aᵧ ∈ {4}, bᵧ ∈ {8}. Вывод: сонаправлены. a = (3; 4), b = (6; 8): сонаправлены.
2. aᵧ ∈ {12}, bᵧ ∈ {-24}. Вывод: противоположно направлены. a = (5; 12), b = (-10; -24): противоположно направлены.
3. aᵧ ∈ {15}, bᵧ ∈ {24}. Вывод: не коллинеарны. a = (8; 15), b = (7; 24): не коллинеарны.
4. aᵧ ∈ {8}, bᵧ ∈ {-16, 16}. Вывод: недостаточно сведений: возможны разные отношения. a = (6; 8), b = (12; -16): не коллинеарны; a = (6; 8), b = (12; 16): сонаправлены.
5. aᵧ ∈ {-21}, bᵧ ∈ {42}. Вывод: противоположно направлены. a = (20; -21), b = (-40; 42): противоположно направлены.
6. aᵧ ∈ {-24, 24}, bᵧ ∈ {-48, 48}. Вывод: недостаточно сведений: возможны разные отношения. a = (7; -24), b = (14; -48): сонаправлены; a = (7; -24), b = (14; 48): не коллинеарны.
7. aᵧ ∈ {-5}, bᵧ ∈ {-5}. Вывод: сонаправлены. a = (12; -5), b = (12; -5): сонаправлены.
8. aᵧ ∈ {5}, bᵧ ∈ {-5}. Вывод: противоположно направлены. a = (12; 5), b = (-12; -5): противоположно направлены.
9. aᵧ ∈ {15}, bᵧ ∈ {-15}. Вывод: не коллинеарны. a = (8; 15), b = (8; -15): не коллинеарны.
10. Данные невозможны: длина не может быть меньше модуля известной координаты. Здесь |a| = 5, но |aₓ| = 7.
11. aᵧ ∈ {-12, 12}, bᵧ ∈ {-24, 24}. Вывод: недостаточно сведений: возможны разные отношения. a = (9; -12), b = (-18; -24): не коллинеарны; a = (9; -12), b = (-18; 24): противоположно направлены.
12. aᵧ ∈ {6}, bᵧ ∈ {20}. Вывод: не коллинеарны. a = (8; 6), b = (15; 20): не коллинеарны.

Как оценить результат

За каждый пункт даётся 1 балл: 10–12 баллов — верно учитываете неопределённый знак; 7–9 — потренируйте случаи «недостаточно данных»; меньше 7 — повторите формулу длины и проверку коллинеарности. Необоснованное присвоение положительного y в вопросе со знаком «?» считается ошибкой, даже если полученная частная конфигурация верна.

Как проверить себя

Перед словом «сонаправлены» или «противоположны» проверяйте, известен ли знак скрытой координаты. При неопределённом знаке рассмотрите обе точки на окружности нужного радиуса; при |x| > L задача не имеет действительного решения.