Поиск потерь решений при переходе к одной функции — упражнения разной сложности, 10 класс

Математика, 10 класс. Переход к одной тригонометрической функции: учебный маршрут.

Цель: заменять cos² x выражением 1 − sin² x, использовать cos(2x) = 1 − 2sin² x = 2cos² x − 1 и не терять варианты знака. Во всех общих решениях k ∈ ℤ.

Лёгкий старт: сначала определите, какую функцию выгоднее оставить

Если уравнение содержит cos(2x) и sin x, удобно заменить cos(2x) на 1 − 2sin² x. Если участвуют cos(2x) и cos x — на 2cos² x − 1. Дальше решаем алгебраическое уравнение относительно t = sin x или t = cos x. Но корни t вне [−1; 1] не соответствуют действительным углам, а уравнение t² = a² даёт обе ветви t = ±a. Подмена sin x на √(1 − cos² x) без знака ± незаконна.

Развилка «верно или ошибка»

Первый ученик из sin²x = 1/4 записал только sin x = 1/2. Второй из cos2x = sin x получил 2sin²x + sin x − 1 = 0 и затем проверил оба корня t = 1/2 и t = −1. Кто прав? Прав второй: первый потерял отрицательные значения синуса. На каждом этапе преобразований указывайте, какие корни появляются или исчезают при делении на sin x, cos x либо при возведении в квадрат.

Три ступени упражнений

В заданиях 1–6 подберите подходящую формулу, в 7–12 проверьте допустимость деления и логические «и/или», в 13–18 верните обе тригонометрические ветви и проверьте их подстановкой. Всего 18 заданий; номера решения совпадают с номерами условий.

1. Преобразуйте cos(2x) = cos x к уравнению только с cos x; найдите все x.
2. Решите cos(2x) = sin x через t = sin x.
3. Решите cos(2x) + sin x = 0, ничего не деля на синус.
4. Исправьте решение sin² x = 1/4, в котором оставлено только sin x = 1/2.
5. Решите 2sin²x = sin x без деления на sin x.
6. Решите cos²x = cos x без сокращения на cos x.
7. Найдите все решения sin x cos x = sin x и объясните, куда попала ветвь cos x = 1.
8. Проверьте, имеются ли действительные решения sin²x + cos²x = 0.
9. Решите sin x = cos x. Где нельзя делить на cos x?
10. Решите 2sin x cos x = 0, не пропустив cos x = 0.
11. Может ли sin x = 0 одновременно с cos x = 0?
12. Решите sin x + cos x = 0 и обоснуйте переход к тангенсу.
13. Из cos²x = 3/4 ученик вывел cos x = √3/2. Восстановите пропуски.
14. Решите cos(2x) = −1/2 через квадрат синуса.
15. Решите cos(2x) = 1 и поясните, почему переход к синусу ничего не теряет.
16. Для cos(2x) = −2sin²x найдите все x.
17. Решите sin²x = sin x и проверьте оба возможных значения синуса.
18. Решите 2cos²x − 3cos x + 1 = 0, не теряя значение cos x = 1.

Подробный ключ и объяснения

1. 2c² − c − 1 = (2c + 1)(c − 1) = 0. c = 1 или c = −1/2. Ответ: x = 2πk либо x = ±2π/3 + 2πk.
2. 1 − 2t² = t ⇒ 2t² + t − 1 = (2t − 1)(t + 1) = 0. sin x = 1/2 или sin x = −1. Ответ: x = π/6 + 2πk, 5π/6 + 2πk, −π/2 + 2πk.
3. 1 − 2s² + s = 0 ⇒ (2s + 1)(s − 1) = 0. s = −1/2 или 1. Ответ: x = 7π/6 + 2πk, 11π/6 + 2πk, π/2 + 2πk.
4. Два случая: sin x = 1/2 и sin x = −1/2. Полный ответ можно записать x = π/6 + πk или x = 5π/6 + πk.
5. sin x(2sin x − 1) = 0 ⇒ x = πk или x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.
6. cos x(cos x − 1) = 0. Ответ: x = π/2 + πk или x = 2πk.
7. sin x(cos x − 1) = 0. x = πk; cos x = 1 даёт x = 2πk, уже включённые в x = πk.
8. Левая часть тождественно равна 1. Уравнение 1 = 0 противоречиво: решений нет. Нельзя извлекать корень из суммы и ожидать вещественные решения.
9. cos x = 0 не удовлетворяет исходному равенству, поэтому на множестве решений деление допустимо. tan x = 1 ⇒ x = π/4 + πk.
10. sin x = 0 или cos x = 0. Ответ: x = πk/2.
11. Нет, так как sin²x + cos²x = 1. У системы решений нет; это пересечение условий, а не объединение.
12. Если cos x = 0, то sin x = ±1 и сумма не нулевая. Значит можно делить на cos x: tan x = −1. Ответ: x = −π/4 + πk.
13. cos x = ±√3/2. Общее множество: x = ±π/6 + πk; при сдвиге на π знак косинуса меняется, поэтому обе ветви присутствуют.
14. 1 − 2sin²x = −1/2 ⇒ sin²x = 3/4 ⇒ sin x = ±√3/2. Ответ x = π/3 + πk или x = 2π/3 + πk.
15. 1 − 2sin²x = 1 ⇒ sin x = 0 ⇒ x = πk. Исходное cos(2πk) = 1, все решения учтены.
16. Подставляем 1 − 2sin²x вместо cos(2x), получаем 1 = 0. Решений нет; ошибочно считать это тождеством.
17. s(s − 1) = 0 ⇒ s = 0 или 1. Ответ x = πk либо x = π/2 + 2πk. Деление на sin x отбросило бы x = πk.
18. (2c − 1)(c − 1) = 0 ⇒ c = 1/2 или 1. Ответ: x = ±π/3 + 2πk или x = 2πk.

Если получились лишние или потерянные корни

Замена t = sin x не создаёт сама по себе лишних корней, если после неё оставить только t ∈ [−1; 1] и вернуться к x по всем сериям. Проблемы возникают в трёх местах: деление на переменную функцию (теряется нулевой множитель), извлечение квадратного корня без ± (пропадает знак), и пропуск периодического семейства при возвращении к углам. Например, у cos²x = 3/4 есть четыре решения на [0; 2π), а не два. Нельзя заменять соответствующее условие утверждением «косинус положителен», если оно не задано отдельно.

Самопроверка и рекомендации

Для каждого преобразования ответьте: равенство было тождественным или потребовалось исключить нули делителя? После нахождения t верните все семейства углов, соблюдайте период и проверьте число решений на одном периоде.