Поиск потерь решений на ограниченном интервале углов: задания с разбором, 10 класс

Математика, 10 класс. Мини-тест: от полного множества к заданному промежутку.

Цель: не пропускать решения на концах и внутри отрезка, отличать скобки [ ] от ( ), проверять период и сохранять все ветви после разложения на множители. Все углы в радианах, каждое задание оценивается в 1 балл.

Памятка перед тестом

Вначале найдите общее решение, затем оставьте те значения, которые принадлежат указанному интервалу. Квадратная скобка включает границу, круглая — исключает. На отрезке [0; 2π] оба конца могут быть ответами, но на [0; 2π) угол 2π не включён. Деление на sin x или cos x до проверки нулей может удалить часть точек.

Вопросы для самостоятельной работы

1. Найдите корни sin x = 0 на [0; 2π).
2. Найдите корни cos x = 0 на [0; 2π].
3. Найдите корни cos(2x) = 1/2 на [0; 2π).
4. Найдите корни sin x = 1/2 на (0; π).
5. Найдите корни sin x = −1/2 на [0; 2π).
6. Найдите корни cos x = 1/2 на [−π; π].
7. Найдите корни cos x = −1/2 на [0; 2π).
8. Найдите корни sin x = √2/2 на [0; 2π).
9. Найдите корни sin(2x) = 1/2 на [0; 2π).
10. Найдите корни cos(2x) = 0 на [0; 2π).
11. Найдите корни tan x = 1 на [0; π].
12. Найдите корни sin(2x) = 1 на [0; 2π).

Ответы, критерии и разбор ловушек

1. x = 0, π. Значение 2π исключено правой круглой скобкой.
2. x = π/2, 3π/2. Концы интервала в это множество не входят по значению косинуса.
3. x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6. Общая формула x = ±π/6 + πk; на заданном полуинтервале четыре корня.
4. x = π/6, 5π/6. Оба корня лежат строго внутри интервала.
5. x = 7π/6, 11π/6. Учитываем две четверти отрицательного синуса.
6. x = −π/3, π/3. Точки ±π дают cos x = −1, поэтому не подходят.
7. x = 2π/3, 4π/3. У косинуса −1/2 на этом промежутке два корня.
8. x = π/4, 3π/4. Синус положителен в I и II четвертях.
9. Из sin y = 1/2 при y = 2x получаем x = π/12 + πk либо x = 5π/12 + πk. На полуинтервале это π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12.
10. 2x = π/2 + πk ⇒ x = π/4 + πk/2. Корни: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
11. x = π/4. Точка 5π/4 находится вне интервала, а при π/2 тангенс не определён.
12. 2x = π/2 + 2πk ⇒ x = π/4 + πk. Корни: π/4, 5π/4.

Как оценить работу

11–12 баллов — отлично; 9–10 — хорошо; 7–8 — повторите работу с концами отрезка и периодом; 0–6 — сначала выпишите общие решения на всей числовой прямой. Ошибки в заданиях 3, 9, 10 и 12 обычно означают неправильное деление периода после удвоения аргумента или пропуск второй четверти для синуса.

Самопроверка и рекомендации

Отдельно перепроверьте каждое значение, совпадающее с концом интервала: принадлежность границе определяется не рисунком, а скобками. Все предложенные числовые ответы проверяются в исходном уравнении, а не только в промежуточной формуле.