Сравнение значений функции для оснований между нулём и единицей: карточки с ответами, 10 класс

Математика, 10 класс. Табличный практикум: показатель меняется, основание остаётся между нулём и единицей.

Цель: устанавливать порядок значений функции y = ax при 0 < a < 1, вычислять контрольные значения как точные дроби, обнаруживать ошибку с обратным порядком чисел и объяснять вывод без длинного счёта.

Содержание статьи6 разделов

Проверьте утверждение ученика

«Чем больше показатель, тем больше значение любой показательной функции». Это верно только при a > 1. Если 0 < a < 1, функция строго убывает: при x₁ < x₂ имеем ax₁ > ax₂. Например, (1/2)−1 = 2, (1/2)0 = 1, (1/2)2 = 1/4. Сравниваем прежде всего показатели у одного и того же основания. Для разных оснований этот простой приём недостаточен.

Таблица исходных данных

№ Основание a x₁ x₂ Задание
1 1/2 -2 1 поставить знак
2 1/3 0 2 поставить знак
3 3/4 -1 3 поставить знак
4 2/5 2 -2 поставить знак
5 1/4 1 2 поставить знак
6 4/5 3 2 поставить знак
7 2/3 -3 -1 поставить знак
8 1/10 -1 0 поставить знак
9 5/6 4 4 поставить знак
10 3/5 -2 2 поставить знак
11 1/2 1 -1 поставить знак
12 7/8 2 5 поставить знак

Первый этап — сравнение без вычисления дробей; второй — точная арифметическая проверка для всех двенадцати строк. В строке с совпадающими показателями равенство должно получиться автоматически; отрицательный показатель означает обратную степень и не меняет положительности результата.

Карточки на чтение таблицы и поиск противоречий

  1. По строке 1 сравните (1/2)-2 и (1/2)1; объясните порядок показателей.
  2. По строке 2 сравните (1/3)0 и (1/3)2; объясните порядок показателей.
  3. По строке 3 сравните (3/4)-1 и (3/4)3; объясните порядок показателей.
  4. По строке 4 сравните (2/5)2 и (2/5)-2; объясните порядок показателей.
  5. По строке 5 сравните (1/4)1 и (1/4)2; объясните порядок показателей.
  6. По строке 6 сравните (4/5)3 и (4/5)2; объясните порядок показателей.
  7. По строке 7 сравните (2/3)-3 и (2/3)-1; объясните порядок показателей.
  8. По строке 8 сравните (1/10)-1 и (1/10)0; объясните порядок показателей.
  9. По строке 9 сравните (5/6)4 и (5/6)4; объясните порядок показателей.
  10. По строке 10 сравните (3/5)-2 и (3/5)2; объясните порядок показателей.
  11. По строке 11 сравните (1/2)1 и (1/2)-1; объясните порядок показателей.
  12. По строке 12 сравните (7/8)2 и (7/8)5; объясните порядок показателей.
  13. Решите (1/2)x > (1/2)3.
  14. Решите (1/3)x ≤ (1/3)−2.
  15. Сравните (1/2)2 и (1/4)1 без применения правила одного основания к разным дробям.
  16. Чему равен порядок (2/3)−1 и (3/2)1?
  17. Ученик считает, что при 0 < a < 1 выполняется a2 > a1. Найдите контрпример.
  18. Сравните (3/4)0 и (1/2)−1.

Ключ и проверка разумности

Каждый результат вычисляется в рациональных дробях, без округления. Это позволяет заметить случаи равенства, когда основание или показатели выглядят разными. Все значения положительны: отрицательный показатель никогда не делает показательную функцию отрицательной.

  1. (1/2)-2 = 4 > 1/2 = (1/2)1. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  2. (1/3)0 = 1 > 1/9 = (1/3)2. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  3. (3/4)-1 = 4/3 > 27/64 = (3/4)3. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  4. (2/5)2 = 4/25 < 25/4 = (2/5)-2. Основание между 0 и 1: первый показатель больше, поэтому значение меньше.
  5. (1/4)1 = 1/4 > 1/16 = (1/4)2. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  6. (4/5)3 = 64/125 < 16/25 = (4/5)2. Основание между 0 и 1: первый показатель больше, поэтому значение меньше.
  7. (2/3)-3 = 27/8 > 3/2 = (2/3)-1. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  8. (1/10)-1 = 10 > 1 = (1/10)0. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  9. (5/6)4 = 625/1296 = 625/1296 = (5/6)4. Основание между 0 и 1: показатели совпадают, значения равны.
  10. (3/5)-2 = 25/9 > 9/25 = (3/5)2. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  11. (1/2)1 = 1/2 < 2 = (1/2)-1. Основание между 0 и 1: первый показатель больше, поэтому значение меньше.
  12. (7/8)2 = 49/64 > 16807/32768 = (7/8)5. Основание между 0 и 1: первый показатель меньше, поэтому значение больше.
  13. Ответ x < 3: функция при основании 1/2 строго убывает, поэтому знак сравнения между показателями становится противоположным.
  14. Ответ x ≥ −2. Проверка на границе: при x = −2 значения совпадают, поэтому граница входит.
  15. Оба значения равны 1/4. Можно привести к основанию 1/2: (1/4)1 = (1/2)2.
  16. Равенство: (2/3)−1 = 3/2 = (3/2)1. Здесь преобразуем отрицательную степень, а не применяем монотонность к разным основаниям.
  17. При a = 1/2 имеем a² = 1/4 < 1/2 = a¹. При основании внутри (0; 1) увеличение показателя уменьшает значение.
  18. 1 < 2: первая степень с нулевым показателем равна 1, вторая с отрицательным показателем — 2. Разные основания требуют явного вычисления.

Методическое объяснение ошибок

Упорядочивание по показателю применимо только при одинаковых положительных основаниях, не равных единице. Запись «0 < a < 1» важна: при a = 1 функция постоянная, при a > 1 — возрастающая; отрицательные основания не дают вещественную функцию ax для произвольного x. Отрицательная степень у основания 1/2 даёт число больше единицы, но не отрицательное число. Между двумя разными основаниями без дополнительного преобразования нельзя автоматически обращать знак сравнения.

Самопроверка и рекомендации

Порядок действий: сначала проверьте допустимое основание, затем одинаковы ли основания в сравнении, потом сравните показатели и лишь после этого при необходимости вычислите точные значения. В задаче на неравенство обозначайте открытые и закрытые границы.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым