Подсчёт числа допустимых расположений для рассадки с запретами на соседство — карточки с ответами, 10 класс

Математика, 10 класс. Рабочий лист на два варианта: как исключить запрещённые соседства при рассадке разных людей в один прямой ряд.

Памятка для печати: считаем не соседство, а допустимые перестановки

Рассадка в ряд означает, что места различаются порядком слева направо. Все учащиеся различны. Когда А и Б стоят рядом, временно рассматриваем их как один блок: вместе с остальными получаем (n − 1)! порядков блоков, а внутри АБ есть два порядка. Поэтому не рядом: n! − 2(n − 1)!.

Если запрещены сразу две непересекающиеся пары, нельзя просто дважды вычесть соседства: перестановки, в которых обе пары сидят рядом, вычлись дважды. Для них есть 2·2·(n − 2)! порядков. Поэтому число разрешённых рассадок равно n! − 4(n − 1)! + 4(n − 2)!. При n ≥ 4 это число неотрицательно.

Вариант А: одна запрещённая пара — задания 1–8

Работайте без калькулятора там, где удобно вынести общий факториал. Записывайте не только ответ, но и смысл вычитаемого.

1. В одном ряду 4 пронумерованных стульев сидят 4 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?
2. В одном ряду 5 пронумерованных стульев сидят 5 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?
3. В одном ряду 6 пронумерованных стульев сидят 6 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?
4. В одном ряду 7 пронумерованных стульев сидят 7 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?
5. В одном ряду 8 пронумерованных стульев сидят 8 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?
6. В одном ряду 9 пронумерованных стульев сидят 9 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?
7. В одном ряду 10 пронумерованных стульев сидят 10 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?
8. В одном ряду 11 пронумерованных стульев сидят 11 разных человек. Двое из них, А и Б, не хотят сидеть рядом. Сколько существует рассадок?

Вариант Б: две независимые запрещённые пары — задания 9–16

Здесь А, Б, В, Г — четыре разных ученика. Проверьте, что при объединении двух пар число объектов уменьшается на два.

1. 5 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?
2. 6 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?
3. 7 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?
4. 8 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?
5. 9 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?
6. 10 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?
7. 11 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?
8. 12 школьников рассаживают в один ряд. Пары А–Б и В–Г должны быть разъединены: нельзя соседство ни в одной паре. Сколько допустимых порядков?

Ключ учителя: вариант А

1. Разбор: 4! − 2·3! = 24 − 12 = 12. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.
2. Разбор: 5! − 2·4! = 120 − 48 = 72. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.
3. Разбор: 6! − 2·5! = 720 − 240 = 480. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.
4. Разбор: 7! − 2·6! = 5 040 − 1 440 = 3 600. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.
5. Разбор: 8! − 2·7! = 40 320 − 10 080 = 30 240. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.
6. Разбор: 9! − 2·8! = 362 880 − 80 640 = 282 240. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.
7. Разбор: 10! − 2·9! = 3 628 800 − 725 760 = 2 903 040. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.
8. Разбор: 11! − 2·10! = 39 916 800 − 7 257 600 = 32 659 200. Смежная пара может идти в двух порядках; номер места внутри пары отдельно не выбирают.

Ключ учителя: вариант Б

1. Разбор: 5! − 2·4! − 2·4! + 4·3! = 120 − 96 + 24 = 48. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.
2. Разбор: 6! − 2·5! − 2·5! + 4·4! = 720 − 480 + 96 = 336. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.
3. Разбор: 7! − 2·6! − 2·6! + 4·5! = 5 040 − 2 880 + 480 = 2 640. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.
4. Разбор: 8! − 2·7! − 2·7! + 4·6! = 40 320 − 20 160 + 2 880 = 23 040. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.
5. Разбор: 9! − 2·8! − 2·8! + 4·7! = 362 880 − 161 280 + 20 160 = 221 760. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.
6. Разбор: 10! − 2·9! − 2·9! + 4·8! = 3 628 800 − 1 451 520 + 161 280 = 2 338 560. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.
7. Разбор: 11! − 2·10! − 2·10! + 4·9! = 39 916 800 − 14 515 200 + 1 451 520 = 26 853 120. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.
8. Разбор: 12! − 2·11! − 2·11! + 4·10! = 479 001 600 − 159 667 200 + 14 515 200 = 333 849 600. Пересечение двух запрещённых событий прибавляем обратно один раз.

Смысловая проверка результатов

Ответ всегда меньше общего числа n!, поскольку хотя бы одна рассадка запрещена. В варианте Б ответ не превышает результата варианта А при одинаковом n: второе ограничение не может прибавить допустимые перестановки. Нельзя путать рассадку за круглым столом с рассадкой в ряд: для круга формула иная.

Для самопроверки. Попросите объяснить, почему при двух запретах возвращается пересечение. Это главный диагностический признак понимания принципа включений и исключений.