Подсчёт числа допустимых расположений для выбора с точным числом элементов — задания с разбором, 10 класс

Математика, 10 класс. Практикум с тремя уровнями: выбираем ровно заданное число различных элементов и доказываем, почему порядок не нужен.

Метод точного выбора: разделяем порядок и состав

Если требуется ровно k объектов из n разных и порядок не играет роли, применяем сочетания C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Перестановки считаются иначе: команда {А,Б,В} — то же множество, что {В,А,Б}. Поэтому порядок записи членов группы игнорируют.

Разбейте условие на два слоя: сколько элементов требуется в точности и какие группы, запреты или обязательные участники ограничивают выбор. При ограничении «ровно два из одной категории» выбираем эти два отдельно и добираем требуемое число из остальных.

Уровень 1. Определи, что считается одним исходом — задания 1–8

1. Сколькими способами из семи видов значков составляют набор ровно из двух? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.
2. Сколькими способами из девяти учеников выбирают группу из четырёх? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.
3. Сколькими способами из одиннадцати тем выбирают ровно три? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.
4. Сколькими способами из восьми книг выбирают набор из пяти? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.
5. Сколькими способами из десяти задач выбирают ровно две? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.
6. Сколькими способами из двенадцати открыток выбирают шесть? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.
7. Сколькими способами из шести вариантов упражнений выбирают ровно три? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.
8. Сколькими способами из тринадцати участников выбирают пару? Порядок перечисления выбранных объектов не важен.

Уровень 2. Точный состав по категориям — задания 9–16

9. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 6 девушек и 5 юношей выбирают 2 девушек и 2 юношей?
10. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 7 исследователей и 6 редакторов выбирают 3 исследователей и 1 редактора?
11. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 5 шахматистов и 8 математиков выбирают 1 шахматиста и 3 математиков?
12. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 9 певцов и 4 музыкантов выбирают 2 певцов и 2 музыкантов?
13. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 8 опытных и 7 начинающих выбирают 4 опытных и 2 начинающих?
14. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 6 организаторов и 9 волонтёров выбирают 3 организаторов и 2 волонтёров?
15. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 7 художников и 7 фотографов выбирают 2 художников и 3 фотографов?
16. Сколько неупорядоченных наборов возможно, если из 10 участников А и 6 участников Б выбирают ровно по 3 из каждой группы?

Уровень 3. С несколькими условиями — задания 17–24

17. Из 9 человек выбирают ровно 4, причём А обязан войти.
18. Из 10 учеников выбирают ровно 4, но Б не имеет права участвовать.
19. Из 8 человек выбирают ровно 3, и ровно один из А и Б должен быть в наборе.
20. Из 11 учеников выбирают ровно 5, причём А и Б обязаны быть вместе в команде.
21. Из 9 кандидатов выбирают ровно 4. Запрещено, чтобы А и Б оказались вместе.
22. Из 10 человек выбирают ровно 4. Среди трёх особо отмеченных должно быть ровно двое.
23. Из 12 учеников выбирают ровно 5. В наборе обязателен хотя бы один из А и Б.
24. Из 8 учащихся выбирают ровно 4. В наборе должен быть А, но не Б.

Почему комбинации, а не размещения: доказательство на знакомом примере

При выборе трёх книг из пяти ученик может сначала записать упорядоченный список: первую книгу выбрать пятью способами, вторую четырьмя, третью тремя. Получится 5·4·3=60. Но набор из книг А, Б, В можно записать в шести порядках: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Все эти записи описывают один и тот же выбранный набор. Следовательно, необходимо разделить 60 на 3!=6, получится 10. В общем случае число упорядоченных списков длины k из n объектов равно n!/(n−k)!, а каждый неупорядоченный набор встречается k! раз. Отсюда и возникает формула сочетаний.

Как читать слова «ровно», «хотя бы» и «оба»

Условие «ровно два участника из группы А» не разрешает выбрать трёх или одного. Если будущая команда состоит из пяти человек, оставшиеся три должны быть выбраны из другой разрешённой группы. Условие «хотя бы один отмеченный» допускает и одного, и двух, если таких отмеченных двое. Поэтому удобнее вычесть из всех команд только те, где отмеченных вообще нет. Условие «оба А и Б обязательны» заранее фиксирует два места в команде. Наконец, «ровно один из А и Б» требует разбиения на две отдельные ситуации — только А или только Б.

Почему в составных условиях число вариантов перемножают

Рассмотрим выбор двух участников из пяти математиков и одного из четырёх лингвистов. Для первой группы имеется C(5,2)=10 пар, а для каждой такой пары есть четыре способа добавить лингвиста. Поэтому общее число команд равно 10·4=40. Здесь группы различны, но внутри каждой порядок не имеет значения. Сначала перемножаются числа независимых выборов по категориям; умножать итог на 3! не нужно, поскольку готовая команда не является очередью выступающих.

Ограничения, которые могут дать нулевой ответ

Если требуется выбрать пять из четырёх, задача не имеет ни одного допустимого набора: C(4,5)=0. Аналогично нельзя выбрать «ровно три из двух отмеченных». В задачах нашего листа чисел достаточно для выбранных составов; однако прежде чем подставлять в формулу, всегда сравните требуемое количество с числом доступных кандидатов. Проверяйте также, что условие «не включать Б» действительно уменьшает множество кандидатов, а условие «включать А» уменьшает оставшееся число свободных мест.

Пример полной проверки сложного ограничения

Пусть из девяти учеников формируют команду из четырёх, и два конкретных ученика не могут оказаться в ней вместе. Без ограничений имеется C(9,4)=126 составов. Нежелательных составов, в которых оба всё-таки включены, C(7,2)=21, ведь два места уже заняты. Разность 126−21=105 и есть ответ. Он меньше 126, что согласуется с запретом. Второй способ проверки: посчитать команды без первого ученика, а затем команды с ним, но без второго; получим C(8,4)+C(7,3)=70+35=105. Совпадение двух способов помогает обнаружить лишние или потерянные случаи.

Разбор базовых задач и ответы

1. Разбор: C(7,2) = 21. Упорядочивание 2! раз посчитало бы каждый состав повторно.
2. Разбор: C(9,4) = 126. Упорядочивание 4! раз посчитало бы каждый состав повторно.
3. Разбор: C(11,3) = 165. Упорядочивание 3! раз посчитало бы каждый состав повторно.
4. Разбор: C(8,5) = 56. Упорядочивание 5! раз посчитало бы каждый состав повторно.
5. Разбор: C(10,2) = 45. Упорядочивание 2! раз посчитало бы каждый состав повторно.
6. Разбор: C(12,6) = 924. Упорядочивание 6! раз посчитало бы каждый состав повторно.
7. Разбор: C(6,3) = 20. Упорядочивание 3! раз посчитало бы каждый состав повторно.
8. Разбор: C(13,2) = 78. Упорядочивание 2! раз посчитало бы каждый состав повторно.

Ключ: составные выборы

1. Разбор: C(6,2)·C(5,2) = 15·10 = 150; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.
2. Разбор: C(7,3)·C(6,1) = 35·6 = 210; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.
3. Разбор: C(5,1)·C(8,3) = 5·56 = 280; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.
4. Разбор: C(9,2)·C(4,2) = 36·6 = 216; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.
5. Разбор: C(8,4)·C(7,2) = 70·21 = 1 470; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.
6. Разбор: C(6,3)·C(9,2) = 20·36 = 720; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.
7. Разбор: C(7,2)·C(7,3) = 21·35 = 735; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.
8. Разбор: C(10,3)·C(6,3) = 120·20 = 2 400; сначала выбор по каждой категории, затем принцип произведения.

Подробные решения сложного уровня

1. Разбор: C(8,3) = 56: А уже включён, остаётся выбрать троих из восьми.
2. Разбор: C(9,4) = 126: исключаем Б из множества кандидатов.
3. Разбор: 2·C(6,2) = 30: выбираем одного из А/Б, затем ещё двоих из шести.
4. Разбор: C(9,3) = 84: двое уже включены, добираем троих из девяти.
5. Разбор: C(9,4) − C(7,2) = 126 − 21 = 105. Вычитаем наборы, содержащие обоих.
6. Разбор: C(3,2)·C(7,2) = 3·21 = 63: отдельно фиксируем состав особой группы.
7. Разбор: C(12,5) − C(10,5) = 792 − 252 = 540: дополнение — ни А, ни Б нет.
8. Разбор: C(6,3) = 20: после включения А и исключения Б выбираем троих из оставшихся шести.

Где чаще всего возникает повторный счёт

Когда ученик сначала выбирает k человек, а затем умножает на k!, он фактически превращает неупорядоченную команду в список с ролями. При отсутствии ролей это ошибка. Обратная проверка: для выбора двух из трёх лиц получаются лишь {А,Б}, {А,В}, {Б,В} — три исхода, а не шесть.

Если в задаче требуется «не менее одного», удобно считать через дополнение. Если требуется «ровно один», условия «взять А» и «взять Б» разбивают все допустимые команды на две непересекающиеся группы. При «ровно двух из трёх» используется C(3,2), а не 3·2: порядок выбранных особых участников не важен.

Для самопроверки. Сверяйте ответ с простой оценкой: нельзя получить больше наборов, чем C(n,k), если ограничения только запрещают некоторые составы.