Выявление повторного счёта для рассадки с запретами на соседство — проверочная работа по математике, 10 класс

Математика, 10 класс. Проверочная работа по реальной сцене школьного выступления: находим повторный счёт при двух запретах на соседство.

Ситуация: шесть участников на школьной сцене

Перед выступлением шесть разных ребят — А, Б, В, Г, Д, Е — занимают шесть мест в одном ряду. Для двух пар действуют ограничения: А не должен сидеть рядом с Б, а В не должен сидеть рядом с Г. Один ученик предлагает найти ответ так: «Из всех рассадок вычесть соседство АБ и соседство ВГ». Его результат неверен, хотя каждое отдельное вычитание выглядит логично.

Исходные данные для проверки решения

Проверочная работа: 13 связанных вопросов

1. Сколько порядков рассадки шести разных участников в шесть мест имеется без запретов?
2. Сколько рассадок содержат соседство А и Б?
3. Сколько рассадок содержат соседство В и Г?
4. Сколько рассадок содержат сразу оба соседства: АБ и ВГ?
5. Ученик посчитал 720 − 240 − 240. Какой ответ он получил?
6. Сколько рассадок не содержат ни АБ, ни ВГ рядом?
7. Сколько раз каждая рассадка с двумя соседними парами вычитается в наивном подсчёте?
8. Сколько рассадок содержат АБ рядом, но ВГ не рядом?
9. Сколько рассадок содержат ВГ рядом, но АБ не рядом?
10. Сколько рассадок содержат ровно одно из двух запрещённых соседств?
11. Проверьте разбиение по числу соседних запрещённых пар: ни одной / одна / две.
12. Какова вероятность, что случайная равновероятная рассадка удовлетворяет обоим запретам?
13. Проверка модели: за круглым столом результат 336 применим без изменений?

Математическая модель: где дважды вычли одно и то же

Обозначим через X множество перестановок с соседством АБ, через Y — с соседством ВГ. Наивная разность |Ω| − |X| − |Y| лишний раз вычитает каждое расположение из X ∩ Y. Правильная формула для двух запретов: |Ω| − |X| − |Y| + |X ∩ Y|. Это и есть принцип включений и исключений.

Способ можно проверить, разбив все рассадки на три группы: ни одна пара не рядом, ровно одна пара рядом, обе пары рядом. Их числа 336, 288 и 96 в сумме дают все 720 исходов. Такая проверка особенно полезна для поиска повторного счёта.

Две независимые проверки на маленьких моделях

Почему прибавляется именно 96? Рассмотрим способ построить рассадку, в которой обе пары сидят рядом. Временно напишем [АБ], [ВГ], Д, Е. Теперь четыре объекта можно расположить в 4!=24 порядках. Внутри первого блока два порядка: АБ и БА; внутри второго тоже два: ВГ и ГВ. Получаем 24·2·2=96. Эти 96 рассадок были включены в «АБ рядом» и одновременно в «ВГ рядом». При вычитании обоих множеств они удаляются дважды, хотя должны быть удалены один раз. Прибавляем ровно 96 — не больше и не меньше.

Для другого теста уменьшите число человек до четырёх: остаются А, Б, В, Г, обе пары запрещены к соседству. Всего существует 24 перестановки. Соседство одной пары встречается в 12 вариантах, другой — тоже в 12; обе пары соседствуют в восьми. Итог 24−12−12+8=8. Эти восемь порядков можно даже выписать вручную, чтобы проверить принцип. Важно, что вариант с обоими соседствами вовсе не является допустимым: прибавление пересечения здесь лишь исправляет арифметику исключения запрещённых исходов.

Почему нельзя считать круговую рассадку тем же способом

В настоящем классе шесть стульев стоят в одну линию: ученик на самом левом месте не соседствует с учеником на самом правом. За круглым столом они были бы соседями. Кроме того, циклические повороты одного расположения иногда считаются одной и той же рассадкой. В условии нашего практикума места пронумерованы и стоят в прямой ряд; менять модель посреди вычисления нельзя.

Оценивание доказательства вместо угадывания числа

При ответе 336 без пояснения преподаватель видит только вычисление. Полный аргумент состоит из четырёх частей: выбор множества всех перестановок, подсчёт каждого запрещённого соседства, подсчёт пересечения двух запретов, корректное применение включений и исключений. Отсутствие четвёртого шага — системная ошибка повторного счёта. Если же ученик получил 336, но считал дважды запрещённые соседства, попросите объяснить, что именно означает прибавленное 96.

Развёрнутый ключ с объяснениями

1. Разбор: 720. 6! = 720, места расположены в ряд.
2. Разбор: 240. Склеиваем АБ в блок и учитываем оба внутренних порядка: 2·5! = 240.
3. Разбор: 240. У пары ВГ такой же расчёт: 2·5! = 240.
4. Разбор: 96. Склеиваем два непересекающихся блока: 2·2·4! = 96.
5. Разбор: 240. 240; этот результат недосчитывает 96 исходов из-за двойного вычитания пересечения двух запрещённых событий.
6. Разбор: 336. 720 − 240 − 240 + 96 = 336. Это число, удовлетворяющее двум запретам.
7. Разбор: 2 раза. Она попадает и в множество «АБ рядом», и в множество «ВГ рядом». Возвращаем один раз.
8. Разбор: 144. 240 − 96 = 144.
9. Разбор: 144. 240 − 96 = 144, симметрично предыдущему.
10. Разбор: 288. 144 + 144 = 288: две непересекающиеся группы исходов.
11. Разбор: 336, 288, 96. 336 + 288 + 96 = 720. Все варианты учтены ровно один раз.
12. Разбор: 7/15. 336/720 = 336/720 = 7/15.
13. Разбор: нет. Нет: круговые соседства включают первое и последнее места; здесь считаются только линейные ряды.

Проверка разумности и критерии оценивания

Основной ответ 336 не может быть больше числа рассадок, где запрещено соседство только одной пары (480). Значение 336 этому условию соответствует. Каждая задача оценивается в один балл; в задачах 5–11 требуется пояснить, что пересечение не должно пропасть. Ошибка «отнять дважды и не прибавить обратно» означает непонимание пересекающихся множеств, даже если отдельные факториалы выписаны правильно.

Для самопроверки. Проверяйте, почему итог 336, а не 240; здесь важен не навык вычисления факториала, а корректный учёт пересечения двух запретов.