Выявление повторного счёта при выборе команды с обязательным участником: карточки с ответами, 10 класс

Математика, 10 класс. Два контрастных варианта для поиска повторного счёта при выборе команд с обязательными участниками.

Вариант А. Команда — это состав, а не очередь игроков

Школьный спортивный клуб выбирает состав на игру. Капитан А должен быть в каждой команде. Если нужно k человек из n кандидатов, то капитан уже занял одно место, и выбираются лишь k−1 остальных из n−1: C(n−1,k−1). Ученик ошибается, если умножает ответ на k!: перестановка фамилий в списке не создаёт новую команду.

Контроль на маленьком примере: из {А,Б,В,Г} выбирают три человека, А обязателен. Получаем команды {А,Б,В}, {А,Б,Г}, {А,В,Г}. Всего C(3,2)=3, а не 18.

Карточки варианта А — задания 1–8

1. Из 7 разных игроков выбирают команду из 3 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?
2. Из 8 разных игроков выбирают команду из 4 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?
3. Из 9 разных игроков выбирают команду из 3 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?
4. Из 10 разных игроков выбирают команду из 5 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?
5. Из 11 разных игроков выбирают команду из 4 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?
6. Из 12 разных игроков выбирают команду из 6 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?
7. Из 13 разных игроков выбирают команду из 5 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?
8. Из 14 разных игроков выбирают команду из 7 человек. Капитан А обязательно входит в состав, других ролей нет. Сколько команд?

Вариант Б. Обязательный игрок и дополнительные ограничения

Здесь задания разнообразнее: иногда нужны сразу два конкретных участника, иногда требуется ровно один из двух отмеченных, иногда один обязателен, а другой исключён. Проверяйте слово «ровно»: оно запрещает включать обоих в одной команде. Не перемножайте на число порядков, если позиции в команде не назначены.

Карточки варианта Б — задания 9–16

9. В группе 9 человек, команда содержит ровно 4. И А, и Б обязаны входить.
10. Из 10 учеников выбирают 4 человек. В команде должен быть ровно один из А и Б.
11. Из 11 игроков выбирают 5. А обязателен, Б участвовать не может.
12. В группе 12 человек, команда содержит ровно 5. И А, и Б обязаны входить.
13. Из 8 учеников выбирают 3 человек. В команде должен быть ровно один из А и Б.
14. Из 13 игроков выбирают 6. А обязателен, Б участвовать не может.
15. В группе 10 человек, команда содержит ровно 5. И А, и Б обязаны входить.
16. Из 12 учеников выбирают 4 человек. В команде должен быть ровно один из А и Б.

Взаимная проверка: два разных способа получить один состав

Сосчитаем пример из варианта А двумя методами: из 8 человек нужно 4, причём А обязателен. Прямой способ: C(7,3)=35. По дополнению: C(8,4)−C(7,4)=70−35=35. Совпадение результатов доказывает, что команды без А отняты один раз и в ответе не учтены перестановки одних и тех же игроков.

Подробный ключ: вариант А

1. Разбор: 15: C(6,2) = 15; один участник уже выбран, добираем 2 из оставшихся 6. Порядок игроков не важен.
2. Разбор: 35: C(7,3) = 35; один участник уже выбран, добираем 3 из оставшихся 7. Порядок игроков не важен.
3. Разбор: 28: C(8,2) = 28; один участник уже выбран, добираем 2 из оставшихся 8. Порядок игроков не важен.
4. Разбор: 126: C(9,4) = 126; один участник уже выбран, добираем 4 из оставшихся 9. Порядок игроков не важен.
5. Разбор: 120: C(10,3) = 120; один участник уже выбран, добираем 3 из оставшихся 10. Порядок игроков не важен.
6. Разбор: 462: C(11,5) = 462; один участник уже выбран, добираем 5 из оставшихся 11. Порядок игроков не важен.
7. Разбор: 495: C(12,4) = 495; один участник уже выбран, добираем 4 из оставшихся 12. Порядок игроков не важен.
8. Разбор: 1 716: C(13,6) = 1 716; один участник уже выбран, добираем 6 из оставшихся 13. Порядок игроков не важен.

Ключ и разбор ограничений: вариант Б

1. Разбор: 21. C(7,2) = 21: двое уже в составе, добираем 2 из 7.
2. Разбор: 112. 2·C(8,3) = 112: выбираем, кто из двух войдёт, затем 3 из 8 остальных.
3. Разбор: 126. C(9,4) = 126: одного включаем, одного удаляем из списка, выбираем остальных.
4. Разбор: 120. C(10,3) = 120: двое уже в составе, добираем 3 из 10.
5. Разбор: 30. 2·C(6,2) = 30: выбираем, кто из двух войдёт, затем 2 из 6 остальных.
6. Разбор: 462. C(11,5) = 462: одного включаем, одного удаляем из списка, выбираем остальных.
7. Разбор: 56. C(8,3) = 56: двое уже в составе, добираем 3 из 8.
8. Разбор: 240. 2·C(10,3) = 240: выбираем, кто из двух войдёт, затем 3 из 10 остальных.

Почему не надо назначать роли, которых нет в условии

Если сначала выбрать состав из четырёх, затем назвать капитаном одного из четырёх, это уже другой эксперимент: считаются пары «команда + назначенный капитан». В нашем условии капитан А фиксирован заранее; для каждой допустимой команды существует ровно один такой вариант. Умножать на четыре нельзя.

Для самопроверки. Выберите один пример и объясните его двумя способами: непосредственно с обязательным игроком и через вычитание составов без него. Результаты должны совпасть.